Lineare Abbildungen in Vektorräumen

Seien VV und WW zwei Vektorräume über dem gleichen Körper KK eine Abbildung f:V→Wf:V\rightarrow W heißt lineare Abbildung oder Vektorraumhomomorphismus, wenn folgende Eigenschaften gelten:
  1. f(u+v)=f(u)+f(v)f(u+v)=f(u)+f(v) für alle u,v∈Vu,v\in V (Additivität)
  2. f(αv)=α f(v)f(\alpha v)=\alpha \, f(v) für alle α∈K\alpha\in K und v∈Vv\in V (Homogenität)
Eine lineare Abbildung eines Vektorraums in sich heißt auch Endomorphismus.
Beide Eigenschaften kann man auch zu einer Eigenschaft zusammenfassen:
f(αu+βv)=αf(u)+βf(v)f(\alpha u+\beta v)=\alpha f(u)+\beta f(v).
Die Menge der linearen Abbildungen bezeichnen wir mit Hom(V,W)\Hom(V,W) und die Menge der Endomorphismen mit EndK(V)\End_K(V) oder einfach mit End(V)\End (V).

Beispiele

Die Abbildung f(v)=0f(v)=0, die jedem Vektor den Nullvektor zuordnet, ist linear.
Die identische Abbildung id⁡:V→V\id:V\to V mit id⁡(v)=v\id(v)=v ist eine lineare Abbildung.
Die linearen Funktionen in R\domR sind lineare Abbildungen.

Komplexe Zahlen über verschiedenen Körpern

Bei der Linearität spielt der Körper über dem der Vektorraum betrachtet wird eine entscheidende Rolle. Wir können die komplexen Zahlen C\domC, da sie ein Körper sind, als Vektorraum über sich selbst auffassen. Betrachten wir nun die komplexe Konjugation: z↦z‾z\mapto \overline z so handelt es sich um keine lineare Abbildung. Einerseits gilt: i⁡⋅i⁡‾=−1‾=−1\overline{ \i\cdot\i}=\overline\me=\me und andererseits: i⁡i⁡‾=i⁡⋅(−i⁡)=1\i\overline\i=\i\cdot(\uminus\i)=1.
Betrachten wir die komplexen Zahlen jedoch als Vektorraum über den reellen Zahlen so brauchen wir wegen Satz 5228C lediglich die Bedingung (ii) zu überprüfen. Für x,y,a∈Rx,y,a\in\domR gilt: a(x+i⁡y)‾=ax+ai⁡y‾\overline{a(x+\i y)}=\overline{ax+a\i y} =ax−ai⁡y=a(x−i⁡y)=a(x+i⁡y‾)=ax-a\i y=a(x-\i y)=a(\overline{x+\i y}).

Nach Beispiel 15XV bildet Abb(V,W)\Abb(V,W), die Menge aller Abbildungen zwischen zwei Vektorräumen, selbst einen Vektorraum. Für die Homomorphismen gilt Analoges:

Satz 15XW (Vektorraum der Homomorphismen)

Seien VV und WW zwei Vektorräume über dem selben Körper KK. Dann ist die Menge der linearen Abbildungen (Homomorphismen) Hom(V,W)\Hom(V,W) zwischen VV und WW ein Untervektorraum des Vektorraums Abb(V,W)\Abb(V,W).

Beweis

Da die Nullabbildung trivialerweise ein Homomorphismus ist, gilt Hom(V,W)≠∅\Hom(V,W)\neq \emptyset.
Wir zeigen, dass die in Beispiel 15XV definierte Addition und Skalarmultiplikation auch die Linearität erhalten.
Seien nun ff und gg lineare Abbildungen und v,w∈Vv,w\in V, sowie α,β∈K\alpha,\beta\in K. Dann gilt:
(f+g)(αv+βw)(f+g)(\alpha v+\beta w) =f(αv+βw)+g(αv+βw)=f(\alpha v+\beta w)+g(\alpha v+\beta w) (nach Definition von f+gf+g)
=αf(v)+βf(w)+αg(v)+βg(w)=\alpha f(v)+\beta f(w)+\alpha g(v)+\beta g(w) (wegen der Linearität von ff und gg)
=α(f(v)+g(v))+β(f(w)+g(w))=\alpha (f(v)+g(v)) + \beta (f(w)+g(w)) =α(f+g)(v)+β(f+g)(w)=\alpha (f+g)(v)+\beta (f+g)(w).
Für λ∈K\lambda\in K: (λf)(αv+βw)(\lambda f) (\alpha v+\beta w) =λ⋅f(αv+βw)=\lambda\cdot f(\alpha v+\beta w) =λ(αf(v)+βf(w))=\lambda(\alpha f(v)+\beta f(w)) =λαf(v)+λβf(w)=\lambda\alpha f(v)+\lambda\beta f(w) =α(λf)(v)+β(λf)(w)=\alpha(\lambda f) (v)+\beta(\lambda f) (w) □\qed
 
 

Insofern sich die Sätze der Mathematik auf die Wirklichkeit beziehen, sind sie nicht sicher, und insofern sie sicher sind, beziehen sie sich nicht auf die Wirklichkeit.

Albert Einstein

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