Matrizen

Vereinfacht gesprochen handelt es sich bei einer Matrix um ein rechteckiges Zahlenschema.
Für einen Körper KK verstehen wir unter einer m×nm\cross n Matrix über dem Körper KK das folgende aus mm Zeilen und nn Spalten bestehende Zahlenschema mit Werten aus KK:
(a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮am1am2⋯amn)\pmatrix { a_{11} & a_{12} &\cdots &a_{1n} \\ a_{21} &a_{22}&\cdots &a_{2n} \\ \vdots &\vdots & \ddots& \vdots \\ a_{m1}& a_{m2}&\cdots &a_{mn} }
In Kurzschreibweise (aij)i=1 j=1m     n\nohtml {(a_{ij})}_{ {i=1}\, {j=1}}^{m\, \, \, \, \, n} oder noch kürzer (aij)(a_{ij}).
Die Zeilen der Matrix bestehen aus den waagerecht geschriebenen nn-Tupel der Form (ai1,ai2,…,ain)(a_{i1},a_{i2},\ldots,a_{in}) für die ii-te Zeile.
Die Spalten der Matrix bestehen aus den senkrecht geschriebenen mm-Tupeln der Form (a1ja2j⋮amj)\pmatrix{ a_{1j} \\a_{2j} \\ \vdots \\a_{mj} }
Besitzt eine Matrix die gleiche Anzahl von Zeilen und Spalten, so heißt die Matrix quadratisch. Die Werte der Matrix, deren Zeilen- und Spaltenindex übereinstimmen, also a11,a_{11}, a22,…,anna_{22},\ldots,a_{nn} bilden die Hauptdiagonale (kurz: Diagonale) der Matrix.
Besitzt die Matrix nur eine Zeile oder eine Spalte, so spricht man von einem Zeilenvektor bzw. einem Spaltenvektor.
Mit Mat(m×n,K)\Mat (m\cross n, K) bezeichnen wir die Menge aller m×nm\cross n-Matrizen mit Elementen aus KK. Für die Bezeichnung von Matrizen werden in der Regel Großbuchstaben wie AA und BB verwendet.

Beispiel

(1234)\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} ist eine Matrix aus Mat(2×2,Q)\Mat(2\cross 2, \domQ) bzw. Mat(2×2,R)\Mat (2\cross 2, \domR).

Obere und untere Dreiecksmatrizen

Eine quadratische Matrix der Form (a11a12… a1n0⋱⋱⋮⋮⋱⋱an−1,n0…0 ann)\begin{pmatrix}a_{11}& a_{12} &\dots& \, a_{1n} \\ 0 &\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots & \ddots&\ddots&a_{n-1,n}\\0&\dots&0&\, a_{nn} \end{pmatrix} heißt obere Dreiecksmatrix.
Ebenso heißt eine quadratische Matrix der Gestalt (a110… 0a21⋱⋱⋮⋮⋱⋱0an1…an,n−1 ann)\begin{pmatrix}a_{11}& 0 &\dots& \, 0 \\ a_{21} &\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots & \ddots&\ddots& 0\\ a_{n1}&\dots&a_{n,n-1}&\, a_{nn} \end{pmatrix} untere Dreiecksmatrix.
 
 

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Stephen Hawking

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