Elementare Umformungen einer Matrix
Für eine
Matrix A∈Mat(m×n,K) definieren wir die folgende
elementaren Spaltenumformungen S1:
Addition einer Spalte zu einer anderen Spalte S2:
Multiplikation eine Spalte mit einem
0=/λ∈K S3: Vertauschung zweier Spalten S4:
Addition einer beliebig
Linearkombination von
r (
r<n) Spalten zu einer weiteren Spalte
Dabei sind S3 und S4 nicht wirklich elementar. S4 erhält man sofort aus endliche Hintereinanderausführung von S1 und S2. S3 ergibt sich folgendermaßen: Sind
x,y zwei Spalten von
A, so ist
(x,y) nach S1:
(x,x+y) nach S4:
x−(x+y),x+y =(−y,x+y) nach S1:
(−y,(x+y)−y) =(−y,x) nach S2:
(y,x).
Die elementaren Zeilenumformungen definiert man analog:
Z1:
Addition einer Zeile zu einer anderen Zeile Z2:
Multiplikation eine Zeile mit einem
0=/λ∈K Z3: Vertauschung zweier Zeilen Z4:
Addition einer beliebig
Linearkombination von
r (
r<m) Zeilen zu einer weiteren Zeile
Auch hier gilt, dass Z3 und Z4 sich aus Z1 und Z2 ergeben.
Satz 16C8 (Elementare Umformungen und Rang)
Elementare Umformungen einer
Matrix ändern ihren
Rang nicht.
Beweis
Elementare Zeilenumformungen von
A entsprechen Spaltenumformungen von
At und umgekehrt. Da
rangA=rangAt (Folgerung aus
Satz 16BA) brauchen wir nur zu zeigen, dass die Spaltenumformungen den
Spaltenrang nicht ändern.
Der
Spaltenrang ist aber die
Dimension, des durch die Spalten aufgespannten Teilraumes, welche sich aber durch S1 und S2 nicht ändert.
□ Im großen Garten der Geometrie kann sich jeder nach seinem Geschmack einen Strauß pflücken.
David Hilbert
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