Lineare Abhängigkeit

Linearkombinationen

Durch vollständige Induktion kann man zeigen, dass die Vektorraumgesetze für endlich viele Summanden bzw. Faktoren gelten. Damit kommt man zum Begriff der Linearkombination. Sind die v1,…,vnv_1,\ldots, v_n Elemente aus VV und α1,…,αn∈K\alpha_1,\ldots ,\alpha_n\in K, dann nennt man die Form
α1v1+…+αnvn=∑i=1nαivi\alpha_1{v_1}+\ldots +\alpha_n{v_n}=\sum\limits_{i=1}^n \alpha_i v_i
eine Linearkombination der v1,…vnv_1,\ldots v_n mit den Faktoren α1,…,αn\alpha_1,\ldots ,\alpha_n.
Wenn die α1,…,αn\alpha_1,\ldots ,\alpha_n alle gleich Null sind, heißt die Linearkombination trivial, sonst wird sie nichttrivial genannt.

Lineare Abhängigkeit

Seien v1,…,vn∈Vv_1,\ldots ,v_n\in V Vektoren aus VV. Dann heißen sie linear unabhängig, wenn sich der Nullvektor nur als triviale Linearkombination darstellen lässt. Also: α1v1+…+αnvn=0  ⟹  α1=0∧…∧αn=0\alpha_1 v_1+\ldots +\alpha_n v_n=0\implies \alpha_1=0 \and \ldots \and \alpha_n=0
Andernfalls heißen die Vektoren linear abhängig.
Eine beliebige nichtleere Teilmenge L⊆VL\subseteq V heißt linear unabhängig, wenn endlich viele beliebig gewählte Vektoren aus LL linear unabhängig sind. Die leere Menge soll linear unabhängig sein.
Ebenso ist eine beliebige Teilmenge L⊆VL\subseteq V linear abhängig, wenn es endlich viele linear abhängig Vektoren in LL gibt.
Ein einzelner Vektor ist nach der obigen Definition genau dann linear unabhängig, wenn er verschieden vom Nullvektor ist.

Beispiele

Der Nullvektor ist linear abhängig, denn es gilt 0=1⋅00=1\cdot 0. Ebenso ist jede Menge, die den Nullvektor enthält linear abhängig.
Die leere Menge ∅\emptyset ist stets linear unabhängig.
Ein vom Nullvektor verschiedener Vektor ist linear unabhängig.
Im R2\domRZwei sind die Vektoren (1,0)(1,0) und (0,1)(0,1) linear unabhängig. Die Vektoren a=(−1,2)a=(-1,2) und b=(2,−4)b=(2,-4) sind linear abhängig, denn es gilt 2a+b=02a+b=0.
Allgemein gilt, dass im kanonischen Vektorraum KnK^n über KK die Vektoren: e1:=(1,0,0,…,0)e_1:=(1,0,0,\ldots,0), e2:=(0,1,0,…,0)e_2:=(0,1,0,\ldots,0) bis en:=(0,0,0,…,1)e_n:=(0,0,0,\ldots,1) linear unabhängig sind.

Wenn ein Vektor w∈Vw\in V Linearkombination der Vektoren v1,…,vn∈Vv_1,\ldots ,v_n\in V ist, also w=α1v1+…+αnvnw=\alpha_1{v_1}+\ldots +\alpha_n{v_n}, dann sind v1,…,vn,wv_1,\ldots ,v_n, w trivialerweise linear abhängig. Andererseits gilt auch:

Lemma 5216A

Seien v1,…,vn,w∈Vv_1,\ldots ,v_n, w\in V linear abhängig und v1,…,vnv_1,\ldots ,v_n linear unabhängig, dann lässt sich ww als Linearkombination der v1,…,vnv_1,\ldots ,v_n darstellen. Es gibt also α1,…,αn∈K\alpha_1,\ldots ,\alpha_n\in K mit w=α1v1+…+αnvnw=\alpha_1{v_1}+\ldots +\alpha_n{v_n}.

Beweis

v1,…,vn,w∈Vv_1,\ldots ,v_n, w\in V sind linear abhängig also gibt es α1,…,αn∈K\alpha_1,\ldots ,\alpha_n\in K mit α1v1+…+αnvn+βw=0\alpha_1{v_1}+\ldots +\alpha_n{v_n}+\beta w=0; umformuliert: βw=−(v1+…+αnvn)\beta w=-({v_1}+\ldots +\alpha_n{v_n}).
Andererseits muss aber wegen der linearen Unabhängigkeit der v1,…,vnv_1,\ldots ,v_n auch α1v1+…+αnvn≠0\alpha_1{v_1}+\ldots +\alpha_n{v_n}\neq 0 gelten. Damit muss aber βw≠0\beta w\neq 0 sein und da ww beliebig war, gilt β≠0\beta\neq 0 und wir können durch β\beta dividieren.
Jetzt können wir sofort die gesuchte Linearkombination angeben: w=−α1β v1+…−αnβ vnw=-\dfrac {\alpha_1}\beta \, v_1+\ldots -\dfrac {\alpha_n}\beta \, v_n. □\qed

Satz 15XS (Lineare Unabhängigkeit von Teilmengen)

Sei VV ein Vektorraum über dem Körper KK, L⊆VL\subseteq V eine linear unabhängige Teilmenge. Dann ist jede Teilmenge von LL ihrerseits linear unabhängig.

Beweis

Indirekt. Man nehme {v1,…vn}⊂L\{v_1,\ldots v_n\}\subset L linear abhängig an und dann ist aber LL nach Definition linear abhängig. Widerspruch. □\qed
 
 

Die Mathematik ist eine Art Spielzeug, welches die Natur uns zuwarf zum Troste und zur Unterhaltung in der Finsternis.

Jean-Baptist le Rond d'Alembert

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite ist urheberrechtlich geschützt und darf ohne Genehmigung des Autors nicht weiterverwendet werden.
Anbieterkеnnzeichnung: Mathеpеdιa von Тhοmas Stеιnfеld  • Dοrfplatz 25  •  17237 Blankеnsее  • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2)  •  Email: cο@maτhepedιa.dе
Datenschutzerklärung

 

Lineare Algebra