Lineare Gleichungssysteme

Ein System von $m$ linearen Gleichungen der Form

heißt lineares Gleichungssystem. Die $x_k$ sind dabei die Unbekannten und die $a_{ij}$ bekannte Größen. Diese Werte stammen im Allgemeinen aus einem beliebigen Körper $K$.

Bildet man aus den $a_{ij}$ eine Matrix $A=(a_{ij})$ und setzt $b=\pmatrix{b_1\\ \vdots\\ b_m}$ und $x=\pmatrix{x_1\\ \vdots\\ x_n}$, so kann man nach Definition der Matrizenmultiplikation das lineare Gleichungssystem als $Ax=b$ schreiben, muss aber im Kopf behalten, dass es sich bei dieser Gleichung nicht um eine Gleichung zwischen Zahlen handelt sondern Matrizen und Vektoren beteiligt sind.

Gilt $b=0$, verschwindet also die rechte Seite, so spricht man von einem homogenen linearen Gleichungssystem. Für ein solches System ist der Nullvektor $x=0$ stets eine Lösung. Ganz allgemein ist jeder Vektor aus dem Kern der Standardabbildung von $A$ Lösung des homogenen Systems.