Lösbarkeitskriterien linearer Gleichungssysteme

Bei der Beurteilung der Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen spielt der Rang zugeordneter Matrizen eine entscheidende Rolle.
Ist (a11⋯a1n⋮⋮am1⋯amn)=A∈Mat(m×n,K)\pmatrix { a_{11} &\cdots & a_{1n}\\ \vdots && \vdots\\ a_{m1} &\cdots& a_{mn} }=A\in\Mat(m\cross n,K) und b=(b1⋮bm)b=\pmatrix{b_1\\ \vdots\\ b_m}, so bezeichnet man mit (A∣b)∈Mat(m×n+1,K)(A|b)\in\Mat(m\cross n+1,K) die Matrix (a11⋯a1nb1⋮⋮⋮am1⋯amnbm)\pmatrix { a_{11} &\cdots & a_{1n}&b_1\\ \vdots && \vdots&\vdots \\ a_{m1} &\cdots& a_{mn}&b_m }.
 
 

Satz 16C5 (Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme)

Sei Ax=bAx=b ein lineares Gleichungssystem mit A∈Mat(m×n,K)A\in\Mat(m\cross n,K). Ferner sei f:Kn→Kmf:K^n\to K^m, x↦Axx\mapto Ax die zu AA gehörige Standardabbildung.
Dann gilt:

Lösbarkeit

Folgende Aussagen sind äquivalent:
  1. Das lineare Gleichungssystem Ax=bAx=b ist lösbar
  2. rang⁡A=rang⁡(A∣b)\rang A=\rang (A|b)
  3. b∈imfb\in\Image f

Universelle Lösbarkeit

Universelle Lösbarkeit bedeutet, dass das Gleichungssystem für jedes b∈Kmb\in K^m lösbar ist.
Folgende Aussagen sind äquivalent:
  1. Das lineare Gleichungssystem Ax=bAx=b ist universell lösbar
  2. rang⁡A=m\rang A=m
  3. ff ist surjektiv

Eindeutige Lösbarkeit

Eindeutige Lösbarkeit bedeutet, dass das Gleichungssystem Ax=bAx=b genau eine Lösung besitzt.
Das lineare Gleichungssystem Ax=bAx=b ist genau dann eindeutig lösbar, wenn rang⁡A=rang⁡(A∣b)=n\rang A=\rang(A|b)=n gilt.
Unter Vorraussetzung der Lösbarkeit von Ax=bAx=b sind folgende Aussagen äquivalent:
  1. Das lineare Gleichungssystem Ax=bAx=b ist eindeutig lösbar
  2. rang⁡A=n\rang A=n
  3. ff ist injektiv
  4. kerf=0\Ker f=0

Beweis

Lösbarkeit

(i)   ⟺  \iff (iii) ist lediglich eine Umformulierung.
(ii)   ⟺  \iff (iii) ergibt sich aus dim⁡imf=rang⁡A\dim\Image f=\rang A und weil imf\Image f von den Spalten von AA erzeugt wird (vgl. Bemerkung 16B7 und Satz 16B8)

Universelle Lösbarkeit

(ii)   ⟺  \iff (iii) ff surjektiv   ⟺  imf=Km\iff\Image f=K^m   ⟺  dim⁡imf=rang⁡A=m\iff \dim\Image f=\rang A=m (Satz 15XH und Satz 16B8)
(i)   ⟺  \iff (ii) ff ist surjektiv genau dann, wenn es zu jedem b∈Kmb\in K^m ein Urbild x∈Knx\in K^n mit f(x)=bf(x)=b gibt. Da ff die Standardabbildung für AA ist, bedeutet dies aber gerade, dass das Gleichungssystem Ax=bAx=b universell lösbar ist.

Eindeutige Lösbarkeit

(iii)   ⟺  \iff (iv): siehe Satz 15XH
(i)   ⟹  \implies (iv): Sei Ax=bAx=b eindeutig lösbar und z∈kerfz\in\Ker f, also gilt: A(x+z)=Ax+Az=b+0=bA(x+z)=Ax+Az=b+0=b. Damit ist z=0z=0, wegen der eindeutigen Lösbarkeit von Ax=bAx=b und kerf=0\Ker f=0.
(iii)   ⟹  \implies (i): Aus der Injektivität von ff folgt mit der Existenz einer Lösung sofort ihre Eindeutigkeit.
(iv)   ⟺  \iff (ii): Nach der Dimensionsformel und Satz 16B8 gilt: n=dim⁡kerf+rang⁡A=rang⁡An=\dim\Ker f+\rang A=\rang A, wegen kerf=0\Ker f=0.
Bleibt der erste Teil zu zeigen. Wir haben soeben erledigt, dass aus der eindeutigen Lösbarkeit rang⁡A=n\rang A=n folgt. Bleibt zu zeigen, dass aus rang⁡A=rang⁡(A∣b)=n\rang A=\rang(A|b)=n die eindeutige Lösbarkeit folgt. Aus rang⁡A=rang⁡(A∣b)\rang A=\rang(A|b) folgt die Existenz einer Lösung. Aus rang⁡A=n\rang A=n folgt dann mit dem gerade Gezeigten, dass die Lösung eindeutig ist. □\qed

Tabelle zur Lösbarkeit

Lineares Gleichungssystem Ax=bAx=b mit A∈Mat(m×n,K)A\in\Mat(m\cross n,K) und wir identifizieren AA mit ihrer Standardabbildung.
lösbar universell lösbar eindeutig lösbar (falls Lösung existiert)
rang⁡A=rang⁡(A∣b)\rang A=\rang (A|b) rang⁡A=m\rang A=m rang⁡A=n\rang A=n
AA surjektiv AA injektiv
b∈imAb\in\Image A imA=Km\Image A=K^m kerA=0\Ker A=0

Folgerung 16C6

Im Falle eine quadratischen Matrix A∈Mat(n×n,K)A\in\Mat(n\cross n,K) sind die folgenden Aussagen äquivalent:
  1. Ax=bAx=b ist eindeutig lösbar
  2. rang⁡A=n\rang A=n
  3. Ax=bAx=b ist für alle b∈Knb\in K^n eindeutig lösbar
  4. Ax=0Ax=0 besitzt nur die triviale Lösung x=0x=0
  5. AA ist invertierbar
Im Fall Ax=bAx=b ist dann x=A−1bx=A^\me b die Lösung.

Beweis

(i)   ⟺  \iff (ii): nach Satz 16C5 (eindeutige Lösbarkeit).
(ii)   ⟺  \iff (iii): nach Satz 16C5 (eindeutige und universelle Lösbarkeit).
(iii)   ⟺  \iff (iv): Man setze b=0b=0.
(ii)   ⟺  \iff (v): nach Satz 16B9.
Ax=bAx=b   ⟹  A−1Ax=x=A−1b\implies A^\me Ax=x=A^\me b. □\qed

So seltsam es auch klingen mag, die Stärke der Mathematik beruht auf dem Vermeiden jeder unnötigen Annahme und auf ihrer großartigen Einsparung an Denkarbeit.

Ernst Mach

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