Lösungsmenge linearer Gleichungssysteme

In Satz 16C5 wurde die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems charakterisiert, dabei wurde keine Aussage über die Lösungsmenge getroffen. Dies erledigt

Satz 16C7 (Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems)

Sei Ax=bAx=b ein lösbares lineares Gleichungssystem mit A∈Mat(m×n,K)A\in\Mat(m\cross n,K). Ferner sei f:Kn→Kmf:K^n\to K^m, x↦Axx\mapto Ax die zu AA gehörige Standardabbildung. Ist x0x_0 eine spezielle Lösung (Ax0=bAx_0=b), dann gilt für jede Lösung v=x0+wv=x_0+w, wobei w∈kerfw\in\Ker f. Die Lösungsmenge schreibt man als
x0+kerf={x0+w ∣ w∈kerf}x_0+\Ker f=\{x_0+w\, |\, w\in\Ker f\}.
Sie ist im allgemeinen kein linearer Teilraum von KnK^n.
Insbesondere gilt: Das lineare Gleichungssystem Ax=bAx=b ist genau dann eindeutig lösbar, wenn kerf=0\Ker f=0 gilt und das homogene lineare Gleichungssystem Ax=0Ax=0 nur die triviale Lösung x=0x=0 hat.

Beweis

Ist x1∈Knx_1\in K^n Lösung von Ax=bAx=b, so gilt A(x1−x0)=Ax1−Ax0A(x_1-x_0)=Ax_1-Ax_0 =b−b=0=b-b=0, also x1−x0∈kerfx_1-x_0\in\Ker f   ⟹  x1∈x0+kerf\implies x_1\in x_0+\Ker f.
Sei x1∈x0+kerfx_1\in x_0+\Ker f, dann gibt es ein w∈kerfw\in\Ker f mit x1=x0+wx_1=x_0+w. Es gilt: Ax1=A(x0+w)Ax_1=A(x_0+w) =Ax0+Aw=Ax_0+Aw =b+0=b=b+0=b, also ist x1x_1 Lösung des linearen Gleichungssystems. □\qed

Satz 16C9 (Elementare Zeilenumformungen und Lösungsmenge)

Elementare Zeilenumformungen ändern die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems nicht.
Genauer: Sei Ax=bAx=b ein lineares Gleichungssystem mit A∈Mat(m×n,K)A\in\Mat(m\cross n,K). Kann die Matrix (A∣b)(A|b) durch elementare Zeilenumformungen in die Matrix (A′∣b′)(A'|b') überführt werden, so besitzen die linearen Gleichungssysteme Ax=bAx=b und A′x=b′A'x=b' dieselbe Lösungsmenge.

Beweis

Betrachtet man die Struktur der elementaren Zeilenumformungen Z1 bis Z4, so sieht man, dass diese die Lösungsstruktur von Ax=bAx=b nicht ändern. Alle Lösungen von Ax=bAx=b sind auch Lösungen von A′x=b′A'x=b'. Weil man nun diese Umformungen ebenso wieder rückgängig machen kann, sind die Lösungen von A′x=b′A'x=b' auch Lösungen von Ax=bAx=b □\qed
 
 

Nicht etwa, daß bei größerer Verbreitung des Einblickes in die Methode der Mathematik notwendigerweise viel mehr Kluges gesagt würde als heute, aber es würde sicher viel weniger Unkluges gesagt.

Karl Menger

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