Teilmengen

Aus einer Menge MM kann man Teile dieser Menge auswählen. Wenn H(x)H(x) eine Eigenschaft ist, dann kann man die folgende Menge bilden: MH:={x∣x∈M∧H(x)}M_H:=\{x| x\in M \and H(x)\}. Diese Menge enthält alle Elemente aus MM, die der Eigenschaft H(x)H(x) genügen. Man sagt MHM_H ist eine Teilmenge von MM und schreibt MH⊆MM_H\subseteq M. Die Bezeichnung Teilmenge ist dadurch gerechtfertigt, dass jedes Element aus MHM_H auch Element von MM ist.
Wir definieren allgemein:
A⊆B:  ⟺  ∀x:x∈A  ⟹  x∈BA\subseteq B :\iff \forall x: x\in A \implies x\in B.
Ist AA eine Teilmenge von BB, so heißt BB Obermenge zu AA.
Die Teilmengenbeziehung wird auch Inklusion genannt.
 
 

Satz 12MN (Eigenschaften der Inklusion)

Für Mengen AA und BB gilt:
  1. Reflexivität
    A⊆AA\subseteq A
  2. Antisymmetrie
    A⊆B∧B⊆A  ⟹  A=BA\subseteq B \and B\subseteq A \implies A=B
  3. Transitivität
    A⊆B∧B⊆C  ⟹  A⊆CA\subseteq B \and B\subseteq C \implies A \subseteq C
  4. ∅⊆A\emptyset \subseteq A

Beweis

Die Behauptungen beweist man über Anwendung der Definition und die entsprechenden aussagenlogischen Beziehungen. □\qed

Bemerkung

Nach Satz 12MN bildet die Inklusion eine teilweise Ordnung unter den Mengen. Man beachte aber, dass es auch nicht vergleichbare Mengen gibt (z.B. {1,2} und {2,3}); womit die Ordnung nicht linear ist.
Mit der vorliegenden Definition beinhaltet die Inklusion auch die Gleichheit der Mengen. Will man diese ausschließen so verwendet man das Symbol ⊂\subset.
Die Notation ist jedoch nicht einheitlich. Teilweise wird auch ⊂\subset gebraucht, wenn die Gleichheit nicht explizit ausgeschlossen ist.
Für A⊆BA\subseteq B kann man auch B⊇AB\supseteq A schreiben.

Satz 12MO (Zusammenhang zwischen Element- und Teilmengenbeziehung)

Es gilt: a∈A  ⟺  {a}⊆Aa\in A \iff \{a\} \subseteq A

Venn-Diagramme

Inklusion.png
Venn-Diagramm der Teilmengenbeziehung
Zur Veranschaulichung der Beziehung zwischen Mengen verwendet man geschlossene, ebene Figuren; meistens Kreise. Diese Art der Darstellung wird Venn-Diagramm genannt.
Beispielsweise wird A⊆BA\subseteq B in der nebenstehenden Grafik veranschaulicht.

Alles, was lediglich wahrscheinlich ist, ist wahrscheinlich falsch.

Rene Descartes

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite ist urheberrechtlich geschützt und darf ohne Genehmigung des Autors nicht weiterverwendet werden.
Anbieterkеnnzeichnung: Mathеpеdιa von Тhοmas Stеιnfеld  • Dοrfplatz 25  •  17237 Blankеnsее  • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2)  •  Email: cο@maτhepedιa.dе
Datenschutzerklärung

 

Grundlagen der Mathematik