Relationen

Seien

A_1

A_2

,...

A_n

Mengen. So versteht man unter einer $n$ -stelligen Relation

R

eine Teilmenge

R\subseteq{ A_1\cross A_2 \cross \dots \cross A}

Beispiel

In der euklidischen Ebene die Relation "kollinear", die für je drei Punkte festlegt, ob sie auf einer Gerade liegen. Hierbei handelt es sich um eine 3-stellige Relation. Die Beziehung "Punkt liegt auf Gerade" definiert eine zweistellige Relation zwischen den Punkten und Geraden der Ebene.

Binäre Relationen

Von besonderem Interesse sind die zweistelligen oder binären Relationen.

R

ist binäre Relation in

A

:\iff R\subseteq A\cross A

Eine Relation ist damit nichts anderes als eine Korrespondenz von

A

A

Wenn für zwei Elemente

a,b\in A

gilt, dass

(a,b)\in R

, schreibt man auch

aRb

und drückt damit aus, dass

a

und

b

in Relation zueinander stehen.

Mit jeder binären Relation

R

ist auch

R^{-1}

eine Relation und mit zwei binären Relationen

R

und

S

auch die Verknüpfung

R\circ S

eine Relation ist.

Oft meint man binäre Relationen, wenn man von Relationen spricht.

Beispiele

Die

\leq

-Beziehung zwischen Zahlen ist eine Relation. Aber auch die Teilmengenbeziehung

\subseteq

in beliebigen Mengensystemen. Beides sind so genannte Ordnungsrelationen.

Die Relation "betragsmäßig gleich" ist eine Relation zwischen Zahlen.

Klassifikation binärer Relationen

Gemäß ihren Eigenschaften kann man die Relationen charakterisieren.

R

ist reflexiv

:\iff \forall x: xRx

R

ist irreflexiv

:\iff \forall x: \not xRx

Bei reflexiven Relationen stehen also die Elemente mit sich selbst in Beziehung; und bei irreflexiven Relationen steht dagegen kein Element mit sich selbst in Beziehung.

R

ist symmetrisch

:\iff \forall x,y: xRy\implies yRx

Diese Definition, kann man sofort zu

R

ist symmetrisch genau dann, wenn

\forall x,y: xRy\;\iff\; yRx

erweitern.

R

ist asymmetrisch

:\iff \forall x,y: xRy\;\implies \not yRx

Dies kann man auch wie folgt schreiben:

\not \exists x,y: xRy\and yRx

R

ist antisymmetrisch

:\iff \forall x,y: xRy \and yRx \implies x=y

Mit jeder Relation

R

ist auch die Umkehrung

R^{-1}

reflexiv, irreflexiv, symmetrisch, asymmetrisch oder antisymmetrisch. Außerdem folgt aus der Asymmetrie die Irreflexivität.

R

ist transitiv

:\iff \forall x,y,z: xRy \and yRz \implies xRz

Matrixdarstellung

Endliche zweistellige Relationen kann mit in der Form boolscher Matrizen darstellen. Sei

A

eine

m

-elementige und

B

eine

n

-elementige Menge. Ist

R\subseteq A\cross B

eine Relation so definiert man ihre Matrix

M_R=(m_{ij})_{i=1\dots m;\, j=1\dots n}

mit

m_{ij} =\ntxbraceKO{ \begin{array}{cl} 1 & (i,j)\in R \\ 0& \text{sonst} \end{array}}

Ein Mathematiker ist eine Maschine, die Kaffee in Theoreme verwandelt.

Paul Erdös

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