Potenzmengen

Da wir zur Bildung von Mengen wieder Mengen heranziehen können, ist folgende Definition naheliegend: Die Menge aller Teilmengen einer Menge MM wird als Potenzmenge P(M)\Pow(M) bezeichnet.
P(M):={A∣ A⊆M}\Pow(M):=\{A| \space A\subseteq M\}
Insbesondere gilt ∅∈P(M)\emptyset \in \Pow(M) und M∈P(M)M \in \Pow(M).
Andere übliche Bezeichnungen für die Potenzmenge sind: P(M)\mathcal P(M), 2M2^M, Pot(M)\mathrm{Pot}(M), Π(X)\Pi(X) oder P(X) \mathfrak P(X).
Eine beliebige Teilmenge der Potenzmenge F⊆P(M)\sb F\subseteq \Pow(M) heißt Mengensystem über MM.
 
 

Beispiel

Sei M={1,2,3}M=\{1,2,3\} dann ist P(M)={∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}\Pow(M)=\{\emptyset, \{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}. Allgemein gilt: Enthält die Menge MM nn Elemente, dann enthält P(M)\Pow(M) genau 2n2^n Elemente.
Damit enthält P(∅)\Pow(\emptyset) genau ein Element, nämlich ∅\emptyset. Anhand des Potenzmengenbegriffes kann man sich sehr schön den Unterschied zwischen Teilmengenbeziehung und Elementbeziehung klarmachen. P(∅)={∅}\Pow(\emptyset)= \{\emptyset\}, d.h. die leere Menge ist Element der Potenzmenge der leeren Menge, womit diese nicht leer ist.

Satz 5608A

Für zwei Mengen AA und BB gilt: A⊆B  ⟺  P(A)⊆P(B)A\subseteq B \iff \Pow(A) \subseteq \Pow(B)

Beweis

"  ⟹  \implies": Sei M∈P(A)M\in \Pow(A), dann gilt M⊆AM\subseteq A und aus der Voraussetzung A⊆BA\subseteq B ergibt sich mit der Transitivität der Inklusion: M⊆BM\subseteq B, was wiederum nichts anderes bedeutet als M∈P(B)M\in \Pow(B). Da MM beliebig gewählt war, erhalten wir die Behauptung: P(A)⊆P(B)\Pow(A) \subseteq \Pow(B).
"⇐\Leftarrow": Nehmen wir jetzt ein beliebiges a∈Aa\in A, dann gilt auch {a}∈P(A)\{a\} \in \Pow(A) und aus der Voraussetzung P(A)⊆P(B)\Pow(A) \subseteq \Pow(B) erhalten wir {a}∈P(B)\{a\} \in \Pow(B); mit anderen Worten a∈Ba\in B; womit sich die Behauptung A⊆BA\subseteq B ergibt. □\qed
Wenn wir uns jetzt fragen, wie sich die Potenzmengenbildung gegenüber den anderen Mengenoperationen verhält, ergibt sich

Satz 5608B

Für zwei Mengen AA und BB gilt:
  1. P(A∩B)=P(A)∩P(B)\Pow(A\cap B) = \Pow(A)\cap\Pow(B)
  2. P(A∪B)⊇P(A)∪P(B)\Pow(A\cup B) \supseteq \Pow(A)\cup\Pow(B)

Bemerkung

Interessanterweise gilt in im obigen Satz die sonst übliche Vertauschbarkeit von ∩\cap und ∪\cup nicht. Das bei (ii) die ⊇\supseteq-Inklusion nicht gilt, kann man sich sofort klar machen, wenn man die Potenzmengen der beiden Mengen {1,2}\{1,2\} und {2,3}\{2,3\} mit der Potenzmenge ihrer Vereinigung vergleicht.

Beweis

(i) X∈P(A)∩P(B)  ⟺  X∈P(A)∧X∈P(B)  ⟺  X\in\Pow(A)\cap\Pow(B) \iff X\in\Pow(A) \and X\in\Pow(B) \iff X⊆A∧X⊆B  ⟺  X\subseteq A \and X\subseteq B \iff X⊆(A∩B)  ⟺  X\subseteq (A\cap B) \iff X∈P(A∩B)X\in\Pow(A\cap B).
(ii) X∈P(A)∪P(B)  ⟺  X∈P(A)∨X∈P(B)  ⟺  X\in\Pow(A)\cup\Pow(B) \iff X\in\Pow(A) \or X\in\Pow(B) \iff X⊆A∨X⊆B  ⟹  X\subseteq A \or X\subseteq B \implies X⊆(A∪B)  ⟺  X\subseteq (A\cup B) \iff X∈P(A∪B)X\in\Pow(A\cup B).
Man beachte in diesem Beweis die Stelle, an der die Äquivalenzkette bricht. Man kann aus X⊆A∨X⊆BX\subseteq A \or X\subseteq B folgern dass X⊆(A∪B)X\subseteq (A\cup B); das Enthaltensein in der Vereinigung bedeutet aber nicht automatisch auch das Enthaltensein in einer der Mengen AA oder BB. □\qed

Wie ist es möglich, daß die Mathematik, letztlich doch ein Produkt menschlichen Denkens unabhängig von der Erfahrung, den wirklichen Gegebenheiten so wunderbar entspricht?

Albert Einstein

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