Gleichmächtigkeit von Mengen

Der Begriff der Bijektion kann benutzt werden um die Gleichmächtigkeit von Mengen zu definieren. Anschaulich bedeutet, dass zwei Mengen gleichmächtig sind, wenn sie die gleiche Anzahl von Elementen enthalten. Da es bei unendlichen Mengen aber schwierig ist, von Anzahlen zu sprechen definieren wir:
Zwei Mengen AA und BB heißen gleichmächtig (A∼BA\sim B) genau dann, wenn es eine Bijektion von AA auf BB gibt.
 
 

Satz 12MQ

Für die Gleichmächtigkeit ∼\sim gelten folgende Eigenschaften:
  1. Reflexivität A∼AA\sim A
  2. Symmetrie A∼B  ⟹  B∼AA\sim B \implies B\sim A
  3. Transitivität A∼B∧B∼C  ⟹  A∼CA\sim B \and B\sim C \implies A\sim C
Damit ist die Gleichmächtigkeit eine Äquivalenzrelation.

Beweis

Vor der Richtigkeit dieser Beziehungen überzeugt man sich leicht. Die Reflexivität ergibt sich daraus, dass die identische Abbildung eine Bijektion ist. Die Symmetrie erhält man aus der Tatsache, dass die Umkehrung einer Bijektion wieder bijektiv ist. Und die Transitivität ergibt sich daraus, dass die Verknüpfung zweier bijektiver Abbildungen wieder bijektiv ist. (siehe Satz 15XJ) □\qed
Die Vereinigungen von Mengen sind gleichmächtig, wenn die einzelnen Mengen disjunkt sind:
A1∼A2∧B1∼B2∧A1∩B1=∅∧A2∩B2=∅  ⟹  A1∪B1∼A2∪B2A_1\sim A_2 \and B_1\sim B_2 \and A_1\cap B_1=\emptyset \and A_2\cap B_2=\emptyset \implies A_1\cup B_1 \sim A_2\cup B_2
Außerdem gilt:
A1∼A2∧B1∼B2  ⟹  A1×B1∼A2×B2A_1\sim A_2 \and B_1\sim B_2 \implies A_1\cross B_1 \sim A_2\cross B_2

Es gibt jedoch noch einen anderen Grund für die hohe Wertschätzung der Mathematik; sie allein bietet den Naturwissenschaften ein gewisses Maß an Sicherheit, das ohne Mathematik nicht erreichbar wäre.

Albert Einstein

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