Abzählbar unendliche Mengen

Da es nach Satz 5305A mehrere Arten der Unendlichkeit geben muss, wollen wir diese einteilen. Die einfachste Art der Unendlichkeit ist sicher die der natürlichen Zahlen. Wir definieren deshalb:
Eine Menge MM heißt abzählbar unendlich, wenn sie zur Menge N\dom N der natürlichen Zahlen gleichmächtig ist. Alle anderen unendlichen Mengen sollen überabzählbar unendlich heißen.
Die abzählbare Unendlichkeit einer Menge MM bedeutet also nichts anderes, als dass MM mit den natürlichen Zahlen durchnummeriert werden kann, quasi abgezählt werden kann.
Für die Mächtigkeit der Menge der natürlichen Zahlen wird die Kardinalzahl ℵ0\aleph_0 eingeführt (Sprich: Aleph).
card⁡N=ℵ0\card \dom N = \aleph_0
Die natürlichen Zahlen sind nicht die einzige abzählbare Menge, auch Mengen die rein anschaulich betrachtet viel größer sind, sind abzählbar.

Satz 15XC (Abzählbarkeit der ganzen und rationalen Zahlen)

Die Menge der ganzen Zahlen Z\dom Z und die Menge der rationalen Zahlen Q\dom Q ist abzählbar unendlich. Also:
card⁡ Z=card⁡ Q=ℵ0\card \, \domZ =\card \, \domQ = \aleph_0.

Beweis

Zuerst zu den ganzen Zahlen. Wir definieren folgende Abbildung f:Z→Nf:\dom Z \rightarrow \dom N:
Uncaught SyntaxError: Invalid or unexpected token Line: 1 Column: 12 Stack:
ff bildet die nichtnegativen ganzen Zahlen auf die geraden natürlichen Zahlen und die negativen ganzen Zahlen auf die ungeraden Zahlen ab. Man überzeugt sich leicht, dass die Abbildung injektiv ist. Die Surjektivität kann man ebenso einfach verifizieren oder noch einfacher: man greift auf Lemma 5305D zurück. Damit gibt es eine Bijektion zwischen den ganzen und den natürlichen Zahlen, was den ersten Teil der Behauptung erledigt.
Für den zweiten Teil brauchen wir feinsinnigere Überlegungen. Diese gehen auf Georg Cantor zurück und werden als 1. Cantorsches Diagonalverfahren bezeichnet. Wir beschränken uns dabei auf die gebrochenen Zahlen. Durch analoge Überlegungen wie im 1. Teil des Beweises kann das Verfahren aber auf alle rationalen Zahlen ausgedehnt werden.
Wir betrachten folgendes Zahlenschema:
11 1 22 2 33 4 44 6 55 10 66 12 77 18
12\dfrac 1 2 3 22\dfrac 2 2 - 32\dfrac 3 2 7 42\dfrac 4 2 - 52\dfrac 5 2 13 62\dfrac 6 2 - …\ldots
13\dfrac 1 3 5 23\dfrac 2 3 8 33\dfrac 3 3 - 43\dfrac 4 3 14 52\dfrac 5 2 19 …\ldots
14\dfrac 1 4 9 24\dfrac 2 4 - 34\dfrac 3 4 15 44\dfrac 4 4 - …\ldots
15\dfrac 1 5 11 25\dfrac 2 5 16 35\dfrac 3 5 20 …\ldots
16\dfrac 1 6 17 26\dfrac 2 6 - …\ldots
⋮\vdots ⋮\vdots
In diesem Schema stehen in der nn-ten Zeile alle Brüche mit dem Nenner nn. In der ersten Zeile stehen also alle natürlichen Zahlen, in der zweiten alle mit Nenner 22, usw.
Jetzt nummerieren wir alle Brüche durch. Dabei beginnen wir mit der linken oberen Ecke und gehen dann von der ersten in der ersten Zeile nicht nummerierten Zahl diagonal nach links unten an den Rand. Die roten Zahlen in der Tabelle verdeutlichen dieses Vorgehen. Dabei lassen wir alle unechten Brüche aus.
Damit erhalten wir eine Abbildung der natürlichen Zahlen in die gebrochenen Zahlen. Diese Abbildung ist injektiv, da zwei verschiedenen natürlichen Zahlen niemals die gleiche gebrochene Zahl zugeordnet werden kann. (Schlauerweise haben wir ja nur die echten Brüche durchnumeriert.
Die Abbildung ist auch surjektiv, denn in unserem Schema tauchen alle gebrochenen Zahlen irgendwo auf.
Damit müssen aber die gebrochenen Zahlen gleichmächtig zu den natürlichen Zahlen sein. Durch die gleichen Überlegungen wie im ersten Teil des Beweises können wir zeigen, dass die rationalen Zahlen gleichmächtig zu den gebrochenen Zahlen sind und damit die rationalen Zahlen ebenfalls abzählbar sind. □\qed

Satz 16HS (Abzählbarkeit einer abzählbaren Vereinigung abzählbarer Mengen)

Sei II eine abzählbare Indexmenge und die AiA_i seien abzählbar für i∈Ii\in I. Dann ist
A:=⋃i∈IAiA:=\bigcup\limits_{i\in I}A_i
abzählbar.

Beweis

Der Beweis benutzt das Cantorsche Diagonalverfahren. Wegen der Abzählbarkeit der AiA_i kann man die Elemente in der Form ai1,ai2,,ai3…,a_{i1},a_{i2},,a_{i3}\dots, schreiben. Da II abzählbar ist, kann man die Folgen wie in obigen Beweis untereinander schreiben und diagonal abzählen. □\qed
 
 

Die Mathematik muß man schon deswegen studieren, weil sie die Gedanken ordnet.

M. W. Lomonossow

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