Teilweise geordnete Mengen

Eine Menge MM heißt teilweise geordnet, oder halbgeordnet wenn sie mit einer Relation ≤\leq versehen ist, die den folgenden Eigenschaften genügt:
  1. x≤xx\leq x für alle x∈Mx\in M (Reflexivität)
  2. Für alle x,y∈Mx,y\in M gilt: Aus x≤yx\leq y und y≤xy\leq x folgt x=yx=y (Antisymmetrie)
  3. Für alle x,y,z∈Mx,y,z\in M gilt: Aus x≤yx\leq y und y≤zy\leq z folgt x≤zx\leq z (Transitivität)
Im Englischen heißen teilweise geordnete Mengen auch Posets von Partially ordered set.
Die Bezeichnung "teilweise" wird stellenweise auch weggelassen.
Gilt für zwei Elemente xx und yy weder x≤yx\leq y noch y≤xy\leq x, so heißen die Elemente unvergleichbar.
Im allgemeinen müssen in einer teilweisen Ordnung zwei Elemente nicht vergleichbar sein. Sind je zwei Elemente vergleichbar, so heißt die Ordnung linear.
≤\leq ist linear :  ⟺  ∀x,y:xRy∨yRx:\iff \forall x,y: xRy \or yRx.
Ist die Ordnung linear, so spricht man auch von einer totalen Ordnung oder einer kettengeordneten Menge. Eine total geordnete Teilmenge von MM heißt auch Kette.
Aus der Linearität folgt die Reflexivität.

Beispiele

1) Die Zahlenbereiche wie die natürlichen Zahlen N\domN, ganzen Zahlen Z\domZ oder reellen Zahlen R\domR bilden bzgl. der natürlichen Ordnungsrelation ≤\leq lineare Ordnungen.
2) Die natürlichen Zahlen N\domN bilden bzgl. der Teilbarkeit eine teilweise Ordnung (siehe Satz 5303A).
Diese Ordnung ist nicht linear, da zwei teilerfremde Zahlen nicht vergleichbar sind.
3) Die Potenzmenge einer beliebigen Menge MM bildet bzgl. der Inklusion eine teilweise geordnete Menge. Diese Ordnung ist nicht linear.
 
 

Die Logik ist die Hygiene, deren sich der Mathematiker bedient, um seine Gedanken gesund und kräftig zu erhalten.

Hermann Weyl

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