Permutationsmatrizen

Für die Permutation σ∈Sn\sigma\in \bm S_n ist die Permutationsmatrix Pσ∈Mat(n×n,K)P_\sigma\in \Mat(n\times n,K) wie folgt definiert
Pσ=(eσ(1),…,eσ(n))=(δiσ(j))i,jP_\sigma=\left( e_{\sigma(1)},\dots,e_{\sigma(n)} \right)=\left( \delta_{i\sigma(j)} \right)_{i,j}
(dabei ist δ\delta das Kronecker-Symbol und eje_j der jj-te kanonische Einheitsvektor).

Beispiele

σ=(1 2)(3 4)\sigma=(1\ 2)(3\ 4) Pσ=(0100100000010010) P_\sigma= \begin{pmatrix} 0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0 \end{pmatrix} σ=(1 2 3 4)\sigma=(1\ 2\ 3\ 4) Pσ=(0001100001000010) P_\sigma= \begin{pmatrix} 0&0&0&1\\ 1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0 \end{pmatrix}
 
 

Bemerkung

Die Hintereinanderausführung von Permutationen entspricht der Matrizenmultiplikation; für σ,τ∈Sn\sigma,\tau\in \bm S_n gilt Pσ⋅Pτ=Pσ∘τP_\sigma\cdot P_{\tau}=P_{\sigma\circ\tau}. Insbesondere sind Permutationsmatrizen invertierbar, also Pσ∈GL⁡(n,K) P_{\sigma}\in \operatorname{GL}(n,K) und die Abbildung ρ\rho mit σ↦Pσ\sigma\mapsto P_\sigma ist ein injektiver Gruppenhomomorphismus zwischen der symmetrischen Gruppe und der generellen linearen Gruppe ρ:Sn→GL⁡(n,K)\rho:\bm S_n\rightarrow \operatorname{GL}(n,K).

Bemerkung (Permutationsmatrizen und Determinanten)

Die Multiplikationsformel für Determinanten liefert: sgn⁡(στ)=det⁡(Pστ) \sgn(\sigma\tau)=\det(P_{\sigma\tau})=det⁡(Pσ⋅Pτ) =\det(P_{\sigma}\cdot P_{\tau})=det⁡(Pσ)⋅det⁡(Pτ) =\det(P_\sigma)\cdot \det(P_\tau)=sgn⁡(σ)⋅sgn⁡(τ) =\sgn(\sigma)\cdot \sgn(\tau) .

Alle Pädagogen sind sich darin einig: man muß vor allem tüchtig Mathematik treiben, weil ihre Kenntnis fürs Leben größten direkten Nutzen gewährt.

Felix Klein

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