Kronecker-Symbol

Das Kronecker-Symbol (Kronecker-Delta) δij\delta_{ij} ist ein mathematisches Zeichen, das den Wert 11 bei der Gleichheit der Indizes ii und jj annimmt und sonst den Wert 00 hat.
δij={1falls i=j0falls i≠j\delta_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{falls } i=j \\ 0 & \text{falls } i \neq j \end{cases}
Für beliebige Indexmengen kann es als Funktion δ:I×I→{0,1}⊂R\delta: I\cross I\to \{0,1\}\subset \R aufgefasst werden.

Eigenschaften

  1. δii=1\delta_{ii}=1
  2. δij=δji\delta_{ij}=\delta_{ji}.

Beweis

1) Wegen i=ii=i.
2) Für i=ji=j gilt nach Definition 1=δij=δji1=\delta_{ij}=\delta_{ji} und ebenso für i≠ji\neq j: 0=δij=δji0=\delta_{ij}=\delta_{ji}.

Anwendungen

Das Kronecker-Symbol ermöglicht in vielen Fällen einer kürzeren und prägnanteren Schreibweise, ohne auf Fallunterscheidungen zurückgreifen zu müssen.
Die n×nn\times n- Einheitsmatrix der linearen Algebra kann man kurz als (δij)1≤i,j≤n(\delta_{ij})_{1\leq i,j\leq n} schreiben.
Das Skalarprodukt orthonormierter Basisvektoren e1,…,ene_1, \dots, e_n kann als ⟨ei,ej⟩=δij\langle e_i, e_j\rangle = \delta_{ij} geschrieben werden.
 
 

Hochtechnologie ist im wesentlichen mathematische Technologie.

Enquete-Kommission der Amerikanischen Akademie der Wissenschaften

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