Addition von Matrizen

Seien

A=\pmatrix { a_{11}& \cdots& a_{1n} \\ \vdots && \vdots \\ a_{m1} &\cdots & a_{mn} }

und

B=\pmatrix { b_{11}& \cdots& b_{1n} \\ \vdots && \vdots \\ b_{m1} &\cdots & b_{mn} }

zwei Matrizen aus

\Mat(m\cross n, K)

. Dann definieren wir ihre Summe

A+B

komponentenweise für die Matrixelemente, also:

A+B:= \pmatrix { {a_{11}+b_{11}} &\cdots &{a_{1n}+b_{1n}}\\ \vdots && \vdots\\ {a_{m1}+b_{m1} } &\cdots &{a_{mn}+b_{mn}} }

Es ist unmittelbar klar, dass

\Mat(m\cross n, K)

mit der so definierten Addition eine Gruppe bildet. Das neutrale Element dieser Gruppe ist die Nullmatrix, deren Elemente alle

0

sind.

Definieren wir nun für

\lambda \in K

\lambda A

als diejenige, bei der die Elemente aus

A

komponentenweise mit

\lambda

multipliziert wurden:

\lambda A:= \pmatrix { {\lambda a_{11}} &\cdots &{\lambda a_{1n}} \\ \vdots && \vdots \\ {\lambda a_{m1} } &\cdots &{\lambda a_{mn}} }

\Mat(m\cross n, K)

durch die komponentenweise Addition und diese skalare Multiplikation zu einem Vektorraum über dem Körper

K

Dieser Vektorraum besitzt die Dimension

mn

und hat eine Basis, die aus den Matrizen besteht, die genau eine

1

und den Rest Nullen als Elemente haben.

Beispiel

\pmatrix {1& 2 \\ 3& 4}

aus

\Mat(2\cross 2, \domR)

lässt sich als

1\cdot \pmatrix {{1\, 0}\\ { 0\, 0}}+2\cdot \pmatrix {{0\, 1} \\{ 0\, 0}}+3\cdot \pmatrix {{0\, 0} \\{ 1\, 0}}+4\cdot \pmatrix {{0\, 0} \\{ 0\, 1}}

schreiben.

Miß alles, was sich messen läßt, und mach alles meßbar, was sich nicht messen läßt.

Galileo Galilei

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