Definition der Determinante

Eine alternierende nn-Form det⁡:Kn×⋯×Kn→K \det:K^n\times\dots\times K^n\rightarrow K mit der Eigenschaft det⁡(e1,…,en)=1\det(e_1,\dots,e_n)=1 heißt Determinante oder auch Determinantenfunktion. Analog definiert man für Matrizen det⁡:Mat(n×n,K)→K\det:\Mat(n\times n,K)\rightarrow K mit A=(v1,…,vn) ↦ det⁡(A)A=(v_1,\dots,v_n)\,\mapsto\, \det(A). Ist A∈Mat(n×n,K)A\in \Mat(n\times n,K), so schreibt man auch ∣A∣:=det⁡(A) |{A}|:=\det(A).

Sei A∈Mat(n,K)A\in\Mat(n,K), dann definieren wir die Matrix Aij∈Mat(n−1,K)A_{ij}\in\Mat(n-1,K) als diejenige Matrix, die aus AA durch Streichen der ii-ten Zeile und der jj-ten Spalte hervorgeht.

Satz 16N1 (Laplacescher Entwicklungssatz)

Wir berechnen det⁡(A)\det(A) durch "Entwicklung nach der ii-ten Zeile":
det⁡(A):=∑j=1n(−1)i+jaijdet⁡(Aij) \det(A):=\sum\limits_{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\det(A_{ij}) ,(1)
wobei det⁡(a)=a\det(a)=a für a∈Ka\in K gelten soll. Die in (1) definierte Funktion ist eine Determinantenfunktion.

Beispiel (n=2n=2)

∣a11a12a21a22∣ \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22} \end{vmatrix} =(−1)1+1a11a22+(−1)1+2a12a21=(-1)^{1+1}a_{11}a_{22}+(-1)^{1+2}a_{12}a_{21} =a11a22−a12a21=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}.
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Vom Produkt der Elemente auf der Hauptdiagonalen wird das Produkt der Elemente auf der Nebendiagonalen abgezogen.

Beispiel (n=3n=3)

∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣ \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}=(−1)2+1a21∣a12a13a32a33∣ =(-1)^{2+1}a_{21} \begin{vmatrix} a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}+(−1)2+2a22∣a11a13a31a33∣+(−1)2+3a23∣a11a12a31a32∣ +(-1)^{2+2}a_{22} \begin{vmatrix} a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33} \end{vmatrix}+(-1)^{2+3}a_{23} \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32} \end{vmatrix} =−a21(a12a33−a32a13)+a22(a11a33−a31a13) =-a_{21}(a_{12}a_{33}-a_{32}a_{13})+a_{22}(a_{11}a_{33}-a_{31}a_{13})−a23(a11a32−a31a12) -a_{23}(a_{11}a_{32}-a_{31}a_{12}) =a11a22a33+a21a32a13+a31a12a23 = a_{11}a_{22}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{31}a_{12}a_{23}−a31a22a13−a11a32a23−a21a12a33 -a_{31}a_{22}a_{13}-a_{11}a_{32}a_{23}-a_{21}a_{12}a_{33}

Sarussche Regel

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Sarussche Regel
Diese Berechnungsformel heißt Sarussche Regel und kann einfach erhalten werden, indem man die ersten beiden Spalten rechts neben die Matrix schreibt und dann wie in der Grafik veranschaulicht die jeweiligen Produkte addiert oder subtrahiert.

Beweis

Wir bewiesen den Entwicklungssatz durch vollständige Induktion über die Dimension nn des Vektorraums. Dazu benutzen wir det⁡n\det_n zur Bezeichnung der Determinantenfunktion für die Dimension nn.
Induktionsanfang: Für n=1n=1 ist det⁡1(a)=a\det_1 (a)=a für beliebiges a∈Ka\in K eine Determinantenfunktion (vgl. Beispiel 16N4). Induktionsschritt: Wir nehmen an, dass det⁡n−1\det_{n-1} für die Dimension n−1n-1 eine Determinantenfunktion ist, und zeigen, dass dann auch die durch (1) definierte Funktion für Dimension nn eine Determinante ist.
a) det⁡En=1\det E_n=1. Sei A=EnA=E_n und i≠j i\neq j. Dann hat AijA_{ij} eine Spalte, die verschwindet.
Beispiel: A=(1000010000100001) A= \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix} A23=(100000001) A_{23}= \begin{pmatrix} 1&0&0\\0&0&0\\0&0&1 \end{pmatrix}
Genauer: wenn i<ji<j wird die ii-te Spalte Null, falls i>ji>j wird die (i−1)(i-1)-te Spalte Null (die Indizes verschieben sich um eins). Nach Induktionsvoraussetzung ist det⁡n−1\det_{n-1} eine Determinante, daher gilt für i≠ji\neq j: det⁡n−1(Aij)=0 \det_{n-1}(A_{ij})=0. Für i=ji=j: det⁡n(A)=(−1)i+iaiidet⁡n−1(Aii) \det_n(A)=(-1)^{i+i}a_{ii}\det_{n-1}(A_{ii}) =det⁡n−1(En−1)=\det_{n-1}(E_{n-1}). Nach Induktionsvoraussetzung folgt: det⁡n(A)=1\det_n(A)=1. b) Multilinearität Wir überprüfen die Linearität in der kk-ten Spalte. Sei A=(v1,…,vk,…,vn)A=(v_1,\dots,v_k,\dots,v_n) und A′=(v1,…,vk′,…,vn) A'=(v_1,\dots,v'_k,\dots,v_n) sowie B=(v1,…,λvk+λ′vk′,…,vn)=(bij)B=(v_1,\dots,\lambda v_k+\lambda'v'_k,\dots,v_n)=(b_{ij}). Zu zeigen:
det⁡n(B)=λdet⁡n(A)+λ′det⁡n(A′) \det_n(B)=\lambda \det_n(A)+\lambda'\det_n(A')
Es gilt:
det⁡n(B)=(−1)i+kbikdet⁡n−1(Bik) \det_n(B)=(-1)^{i+k}b_{ik}\det_{n-1}(B_{ik})+∑j≠k(−1)i+jbijdet⁡n−1(Bij) +\sum\limits_{j\neq k}(-1)^{i+j}b_{ij}\det_{n-1}(B_{ij}), (2)
wobei bik=λaik+λ′aik′ b_{ik}=\lambda a_{ik}+\lambda'a'_{ik} und Bik=Aik=Aik′ B_{ik}=A_{ik}=A'_{ik} Für j≠k j\neq k gilt nun bij=aij=aij′ b_{ij}=a_{ij}=a'_{ij} und nach Induktionsvoraussetzung det⁡n−1(Bij)=λdet⁡n−1(Aij)+λ′det⁡n−1(Aij′) \det_{n-1}(B_{ij}){=}\lambda \det_{n-1}(A_{ij})+\lambda'\det_{n-1}(A'_{ij}). Für (2) gilt weiter: det⁡n(B)=(−1)i+k(λaik+λ′aik′)det⁡n−1(Aik)⎵=det⁡n−1(Aik′) \det_n(B)=(-1)^{i+k}(\lambda a_{ik}+\lambda'a'_{ik})\underbrace{\det_{n-1}(A_{ik})}_{=\det_{n-1}(A'_{ik})} +∑j≠k(−1)i+jaij(λdet⁡n−1(Aij)+λ′det⁡n−1(Aij′)) +\sum\limits_{j\neq k}(-1)^{i+j}a_{ij}( \lambda \det_{n-1}(A_{ij})+\lambda' \det_{n-1}(A'_{ij}))
=λ⋅∑j(−1)i+jaijdet⁡n−1(Aij) =\lambda\cdot \sum\limits_{j}(-1)^{i+j}a_{ij}\det_{n-1}(A_{ij}) +λ′∑j(−1)i+jaij′det⁡n−1(Aij′) +\lambda'\sum\limits_j(-1)^{i+j}a'_{ij}\det_{n-1}(A'_{ij}) =λdet⁡n(A)+λ′det⁡n(A′) =\lambda \det_n(A)+\lambda'\det_n(A')
c) Zu zeigen: det⁡(ai1,…,ain)=0\det (a_{i1},\dots,a_{in})=0 falls k!=lk!=l existieren mit aik=aila_{ik}=a_{il}. Sei obdA. k<lk<l und die kk-te Spalte gleich der  l\ l-ten Spalte. Wir entwickeln nach der ii-ten Zeile. Für j≠k,lj\neq k,l hat AijA_{ij} zwei gleiche Spalten und nach Induktionsvoraussetzung folgt: det⁡n−1(Aij)=0\det_{n-1}(A_{ij})=0. Es gilt also
det⁡n(A)=(−1)i+kaikdet⁡n−1(Aik) \det_n(A)=(-1)^{i+k} a_{ik}\det_{n-1}(A_{ik})+(−1)i+laildet⁡n−1(Ail) +(-1)^{i+l}a_{il}\det_{n-1}(A_{il}) (3)
Nach Voraussetzung ist aik=aila_{ik}=a_{il}. Bezeichnen wir mit wjw_j die Spaltenvektoren, dann können wir AikA_{ik} und AilA_{il} folgendermaßen schreiben:
Aik=(w1,…,wk−1,wk+1,…,wl−1,w,wl+1,…,wn) A_{ik}=(w_1,\dots,w_{k-1},w_{k+1},\dots,w_{l-1},w,w_{l+1},\dots,w_n)
Ail=(w1,…,wk−1,w,wk+1,…,wl−1,wl+1,…,wn), A_{il}=(w_1,\dots,w_{k-1},w,w_{k+1},\dots,w_{l-1},w_{l+1},\dots,w_n),
wobei w=wk=wlw=w_k=w_l und der ii-ten Eintrag gestrichen ist. Das heißt: AikA_{ik} entsteht aus AilA_{il} durch Vertauschungen von Spalten:
Ail=(w1,…,wk−1⎵fest,w,wk+1,…,wl−1⎵VT,wl+1,…,wn⎵fest) A_{il}=(\underbrace{w_1,\dots,w_{k-1}}_{\text{fest}},\underbrace{w,w_{k+1},\dots,w_{l-1}}_{\text {VT}},\underbrace{w_{l+1},\dots,w_n}_{\text{fest}})
VT: (w,wk+1,… )(w,w_{k+1},\dots) →(wk+1,w,wk+2,… )\rightarrow (w_{k+1},w,w_{k+2},\dots) und nach l−k−1l-k-1 Vertauschungen: →(wk+1wk+2,…,wl−1,w) \rightarrow (w_{k+1}w_{k+2},\dots,w_{l-1}, w).
Nach Induktionsvoraussetzung ist (wegen Satz 16N3) det⁡n−1\det_{n-1} eine alternierende nn-Form) und es gilt:
det⁡n−1(Ail)=(−1)l−k−1det⁡n−1(Aik) \det_{n-1}(A_{il})=(-1)^{l-k-1}\det_{n-1}(A_{ik})
Setzen wir dies in (3) ein: det⁡n(A)=(−1)i+kaikdet⁡n−1(Aik) \det_n(A)=(-1)^{i+k}a_{ik}\det_{n-1}(A_{ik})+(−1)i+lail(−1)l−k−1det⁡n−1(Aik) +(-1)^{i+l}a_{il}(-1)^{l-k-1}\det_{n-1}(A_{ik}) =aikdet⁡n−1(Aik)((−1)i+k+(−1)i+l+l−k−1⎵=(−1)i+k+1) =a_{ik}\det_{n-1}(A_{ik})( (-1)^{i+k}+\underbrace{(-1)^{i+l+l-k-1}}_{=(-1)^{i+k+1}} ) =aikdet⁡n−1(Aik)(−1)i+k((−1)0+(−1)1)=0 =a_{ik}\det_{n-1}(A_{ik})(-1)^{i+k}((-1)^0 +(-1)^1) =0 .
Wegen b) und c) können wir Satz 16N3 anwenden, daher ist det⁡\det eine alternierende Form wegen a) auch eine Determinantenfunktion. □\qed
Der Laplacesche Entwicklungssatz garantiert die Existenz einer Determinantenfunktion. Diese ist auch eindeutig bestimmt.

Satz 16N2 (Existenz und Eindeutigkeitssatz für Determinanten)

Für jeden Körper KK und jedes n>=1n>=1 gibt es genau eine Determinantenfunktion.

Beweis

Eindeutigkeit

Sei neben det⁡\det auch det⁡′\det' eine Determinantenfunktion für Mat(n,K)\Mat(n,K) und A∈Mat(n,K)A\in\Mat(n,K). Ist rang⁡A<n\rang A<n, sind die Spalten von AA also linear abhängig, so gilt nach Satz 16MP (ii) det⁡A=det⁡′A=0\det{A}=\det'{A}=0.
Sei nun rang⁡A=n\rang A=n, dann wenden wir auf die Spalten von AA das Gaußsche Eliminationsverfahren an und können so AA in die Einheitsmatrix EE umformen. Nach Definition der Determinantenfunktion gilt det⁡E=det⁡′E=1\det{E}=\det'{E}=1. Alle Umformungen können wir wieder rückgängig machen und nach Satz 16MP gilt dann det⁡A=det⁡′A\det{A}=\det'{A}.
Der Eindeutigsbeweis liefert zugleich ein Verfahren zur praktischen Berechnung der Determinante. Sei rr die Anzahl der elementaren Spaltenumformungen vom Typ S3 und λ1,…,λs∈K∗\lambda_1,\dots,\lambda_s\in K^* die bei den Transformationen vom Typ S2 auftretenden Faktoren. Dann gilt nach Satz 16MP und wegen det⁡E=1\det E=1: det⁡A=(−1)rλ1⋅⋯⋅λs \det{A}=(-1)^r\lambda_1\cdot \dots\cdot \lambda_s .

Existenz

Folgt direkt aus dem Laplaceschen Entwicklungssatz. □\qed
 
 

Jede Wissenschaft bedarf der Mathematik, die Mathematik bedarf keiner.

Jakob I. Bernoulli

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