Rangbestimmung mit Hilfe von Determinanten

Die Determinanten, nur definiert für quadratische Matrizen (Endomorphismen), können auch in der Theorie allgemeiner Rechtecksmatrizen verwendet werden.

Bei einer beliebigen Matrix $A \in M(m,n,{\mathbb{K}})$ heißt die Determinante einer durch Streichen von $m-k$ Zeilen und $n-k$ Spalten entstandene $k$-reihige Teilmatrix $\tilde{A} \in M(k,k,{\mathbb{K}})$ eine $k$-reihige Unterdeterminante oder ein $k$-reihiger Minor von $A$.

Der Rang einer Matrix $A \in M(m,n,{\mathbb{K}})$ ist die größte Zahl $r$, für die eine von Null verschiedene $r$-reihige Unterdeterminante existiert, das heißt $\rang A = r \iff$ Es gibt eine $r$-reihige Unterdeterminante $\ne 0$ und jede $k$-reihige Unterdeterminante mit $k>r$ ist gleich Null.

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}$ zweireihige Unterdeterminanten $\det \ne 0 \Rightarrow \rang A = 2$

Es sei $\overline{r}$ die größte ganze Zahl, für die eine $\overline{r}$-reihige Unterdeterminante $\ne 0$ existiert. Wir zeigen $r = \rang A \stackrel{!}{=} \overline{r}$. $\rang A = r \Rightarrow$ es gibt $r$ unabhängige Spalten in $A \Rightarrow$ Für die durch Streichen der restlichen Spalten entstandene Teilmatrix $A' \in M(m,r,{\mathbb{K}})$ gilt ebenfalls $\rang A' = r \Rightarrow$ Es gibt $r$ linear unabhängige Zeilen in $A' \Rightarrow$ Für die durch Streichen der restlichen Zeilen entstandene Teilmatrix $\tilde{A} \in M(r,r,{\mathbb{K}})$ gilt ebenfalls $\rang\tilde{A} = r \Rightarrow \tilde{A}$ ist regulär $\Rightarrow \det \tilde{A} \ne 0$. Also gilt $r = \rang A \le \overline{r}$ (ist gleich größte ganze Zahl, für die eine $\overline{r}$-reihige Unterdeterminante $\ne 0$ existiert.) $\overline{A}$ sei eine $\overline{r}$-reihige Teilmatrix mit $\det A \ne 0 \Rightarrow \overline{A}$ regulär $\Rightarrow \rang \overline{A} = \overline{r}$. Durch Hinzufügen der gestrichenen Zeilen und Spalten vergrößert sich höchstens der Rang. Also ist $r = \rang A \ge \overline{r}$. $\qed$