Cramersche Regel

Adjunkte

Sei A∈Mat(n×n,K)A\in \Mat(n\times n,K) gegeben, dann heißt A~=(a~ij) \tilde{A}=(\tilde{a}_{ij}) mit a~ij:=(−1)i+jdet⁡Aji\tilde{a}_{ij}:=(-1)^{i+j}\det{ A_{ji}} die Adjunkte (oder adjungierte Matrix) zu AA. (Man beachte die Indizes in AjiA_{ji}!)

Beispiel

Sei A=(abcd) A= \begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix}, dann ist A~=(d−b−ca) \tilde{A}= \begin{pmatrix} d&-b\\-c&a \end{pmatrix} . Es gilt A⋅A~=(ad−bc00−bc+ad)=det⁡A⋅(1001) A\cdot \tilde{A}= \begin{pmatrix} ad-bc&0\\0&-bc+ad \end{pmatrix} =\det{A}\cdot \begin{pmatrix} 1&0\\0&1 \end{pmatrix} . Dies ist kein Zufall, denn es gilt allgemein:
 
 

Satz 16ND (Determinante und Adjunkte)

Sei A∈Mat(n×n,K)A\in \Mat(n\times n,K), dann gilt
A⋅A~=A~⋅A=det⁡A⋅E A\cdot \tilde{A}=\tilde{A}\cdot A=\det{A}\cdot E
Insbesondere gilt: Ist AA invertierbar, so ist det⁡A≠0\det{A}\neq 0 und dann gilt
A−1=1det⁡A⋅A~ A^{-1}=\dfrac 1{\det{A}} \cdot \tilde{A} .

Beweis

Sei B=A⋅A~=(bij)B=A\cdot \tilde{A}=(b_{ij}). Dann ist (bij)=∑k=1naika~kj (b_{ij})=\sum\limits_{k=1}^{n}a_{ik}\tilde{a}_{kj} =∑k=1naik(−1)j+kdet⁡Ajk =\sum\limits_{k=1}^{n}a_{ik}(-1)^{j+k}\det{A_{jk}} =det⁡A′ {=}\det{A'} (bei Entwicklung nach jj-ter Zeile).
Die Matrix A′A' entsteht nun aus AA, indem die jj-te Zeile durch die ii-te ersetzt wird. Daher ist bij={det⁡Afu¨r i=j0sonstb_{ij}=\ntxbraceKO {\begin{matrix}\det A& \text {für } i=j\\ 0& \text {sonst}\end{matrix}} , denn im Fall i!=ji!=j enthält A′A' zwei gleiche Zeilen. □\qed

Beispiel

Für A∈Mat(n×n,Z)A\in \Mat(n\times n,\mathbb{Z}) gilt: es existiert B∈M(n×n,Z)B\in M(n\times n,\mathbb{Z}) mit A⋅B=EA\cdot B=E   ⟺  \iff det⁡A=±1\det{A}=\pm 1.
"⇐\Leftarrow": det⁡A=±1\det{A}=\pm 1   ⟹  A~∈Mat(n×n,Z)\implies\tilde{A}\in \Mat(n\times n,\mathbb{Z})   ⟹  A−1=±A∈Mat(n×n,Z)\implies A^{-1}=\pm A\in \Mat(n\times n,\mathbb{Z}). "⇒\Rightarrow ": A⋅A−1=EA\cdot A^{-1}=E   ⟹  1=det⁡E=det⁡A⋅det⁡A−1⇒det⁡A=det⁡A−1=±1\implies 1=\det{E}=\det{A}\cdot \det{A^{-1}}\Rightarrow \det{A}=\det{A^{-1}}=\pm 1.
Die Lösung von linearen Gleichungssystemen lässt sich auf die alleinige Berechnung von Determinanten zurückführen, wie der folgende Satz zeigt.

Satz 16NE (Cramersche Regel)

Für A∈GL⁡(n,K)A\in \operatorname{GL}(n,K), b∈Knb\in K^n hat das lineare Gleichungssystem Ax=bAx=b die eindeutige Lösung
xi=(A−1b)i x_i=(A^{-1}b)_i=1det⁡A⋅∑j=1nbj (−1)i+jdet⁡Aji⎵=a~ij =\dfrac 1 {\det{A}}\cdot \sum\limits_{j=1}^nb_j\, \underbrace{(-1)^{i+j}\det{A_{ji}}}_{=\tilde{a}_{ij}} =1det⁡A∣a11⋯a1,i−1b1a1,i+1⋯a1n⋮⋮an1⋯an,i−1bnan,i+1⋯ann∣ =\dfrac 1 {\det{A}}\begin{vmatrix} a_{11}&\cdots&a_{1,i-1}&b_1&a_{1,i+1}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&&&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{n,i-1}&b_n&a_{n,i+1}&\cdots&a_{nn} \end{vmatrix} .(1)

Beweis

Gegeben ist das lineare Gleichungssystem Ax=bAx=b. Weil A∈GL⁡(n,K)A\in \operatorname{GL}(n,K) existiert A−1=det⁡A−1⋅A~A^{-1}=\det{A}^{-1}\cdot \tilde{A}. Gesucht ist xix_i. Betrachte ii-te Zeile von A−1b=xA^{-1}b=x. Dann gilt: xi=(A−1b)i x_i=( A^{-1}b)_i =((det⁡(A−1)⋅A~)b)i =\left( ( \det({A}^{-1})\cdot \tilde{A})b\right)_{i} =det⁡(A−1)⋅(A~b)i =\det({A}^{-1})\cdot ({\tilde{A}}b)_{i} Mit a~ij=(−1)i+j⋅det⁡Aji{\tilde{a}_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot \det{A_{ji}}} und BB als diejenige Matrix, die durch Ersetzen der ii-ten Spalte aus AA durch den Vektor bb entsteht: xi=det⁡(A−1)⋅(∑j=1n(−1)i+jbjdet⁡Aji)det⁡B x_i=\det({A}^{-1})\cdot {\left( \sum\limits_{j=1}^{n}(-1)^{i+j}b_j\det{A_{ji}}\right)}{\det B } =det⁡A−1⋅det⁡B =\det{A}^{-1}\cdot \det B (det⁡B\det B entwickelt nach der ii -ten Spalte) □\qed
Die Formel (1) ist für die praktische Berechnung der Lösung eines linearen Gleichungssystems ungeeignet, da n+1n+1 Determinanten berechnet werden müssen, was der n+1n+1-maligen Anwendung des Gaußschen Algorithmus entspricht.

Seit der Zeit der Griechen bedeutet "Mathematik" zu sagen, "Beweis" zu sagen.

N. Bourbaki

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