Schwerelinien und Schwerpunkt geometrischer Figuren

Sei \(\displaystyle F\) eine Figur mit dem Flächeninhalt \(\displaystyle A\), eine Schwerelinie ist eine Gerade \(\displaystyle g\), die \(\displaystyle F\) so teilt, dass jeweils die Hälfte der Figur in den beiden durch \(\displaystyle g\) gebildeten Halbebenen liegt, dh die in den Halbebenen liegenden Teilfiguren haben jeweils den Flächeninhalt \(\displaystyle A/2\).
Der Schnittpunkt zweier Schwerelinien heißt Schwerpunkt. Wir werden sehen, dass sich 2 beliebige Schwerelinien stets in einem Punkt schneiden, sodass diese Definition gerechtfertigt ist.
 
 

Lemma C93A (Eigenschaften von Schwerelinien)

  1. Schneiden sich 2 Schwerelinien so sind dem Schnittpunkt gegenüberliegende Flächen gleich groß.
  2. Zwei verschiedene Schwerelinien besitzen stets einen gemeinsamen Schnittpunkt, können also nicht parallel sein.

Beweis

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i) Seien \(\displaystyle g\) und \(\displaystyle h\) zwei sich schneidende Schwerelinien und \(\displaystyle A\) der Flächeninhalt der Figur. Dann gilt (siehe nebenstehende [!Abbildung]):\(\displaystyle B_1+B_2=C_1+C_2=\dfrac A 2\) und \(\displaystyle B_1+C_1=B_2+C_2=\dfrac A 2\).Durch Subtraktion der Gleichungen können wir \(\displaystyle B_2-C_1=0\) und damit \(\displaystyle B_2=C_1\), ebenso \(\displaystyle B_1-C_2=0\) und damit \(\displaystyle B_1=C_2\).
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ii) Seien \(\displaystyle g\) und \(\displaystyle h\) zwei parallele (aber verschiedene) Schwerelinien. Dann gilt für die Flächeninhalte (siehe nebenstehende [!Abbildung]):\(\displaystyle B+C=D\) und \(\displaystyle B=C+D\), also \(\displaystyle 2\cdot C=0\), die Parallelen müssen zusammenfallen. Widerspruch! \(\displaystyle \qed\)

Satz C93B (Eindeutigkeit des Schnittpunktes von Schwerelinien)

Alle Schwerelinien einer Figur schneiden sich in einem eindeutig bestimmten Punkt, dem Schwerpunkt.

Beweis

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Angenommen 3 verschiedene Schwerelinien schneiden sich nicht in einem Punkt, dann müssen sie - da je 2 von ihnen nach Lemma C93A nicht parallel sein können - ein Dreieck bilden.Wegen obigen Lemma gelten mit den Bezeichnungen in nebenstehender [!Abbildung] die folgenden Gleichungen:
\(\displaystyle B_1=C_3+D\), \(\displaystyle B_2=C_2+D\) und \(\displaystyle B_3=C_1+D\).
Aufsummieren ergibt dies:
\(\displaystyle B_1+B_2+B_3=C_1+C_2+C_3+D+2D\),
und da \(\displaystyle h\) eine Schwerelinie ist: \(\displaystyle B_1+B_2+B_3=C_1+C_2+C_3+D\), also \(\displaystyle 2D=0\), damit müssen die Punkte \(\displaystyle P\), \(\displaystyle Q\) und \(\displaystyle S\) in einem Punkt zusammenfallen und sich die drei Schwerelinien in einem Punkt schneiden. \(\displaystyle \qed\)

Die Logik ist die Hygiene, deren sich der Mathematiker bedient, um seine Gedanken gesund und kräftig zu erhalten.

Hermann Weyl

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