Parallelenbüschel und Geradenbüschel

Die Parallelität in einer affinen Ebene ist eine Äquivalenzrelation.

Wegen Satz UK27 bleibt nur noch die Transitivität zu zeigen. Seien nun $g$, $h$ und $k$ drei Geraden. Angenommen zwei von ihnen sind gleich, dann gilt die Transitivität trivial. Seien die drei Geraden nun paarweise verschieden und es gelte $g\para h$ und $h\para k$. Angenommen $g\npara k$, dann gibt es nach Satz UU90 genau einen Schnittpunkt $P=g\cap k$. Dieser liegt nach Definition der Parallelität nicht auf $h$. Es gibt aber zwei parallele Geraden zu $h$, die durch $P$ gehen, nämlich $g$ und $k$, was im Widerspruch zum Parallelenaxiom ist. $\qed$

Die Äquivalenzklassen bezüglich der Parallelität nennen wir Parallelenbüschel oder Richtung. Das Parallelenbüschel zu einer Geraden $g$ bezeichnen wir mit $[g]$ und es gilt:

Die Menge aller Geraden ist eine disjunkte Vereinigung aller Parallelenbüschel (Satz 5410Y).

In Analogie definieren wir ein Geradenbüschel $[P]$ zu einem Punkt $P$ als die Menge aller geraden, die $P$ enthält:

Abb. BT41 zeigt Beispiele für Parallelen- und Geradenbüschel in unserer Anschauungsebene.

In der minimalen affinen Ebene aus Beispiel UI60 gibt es zwei Parallelenbüschel, eins mit den $g_{k}$-Geraden und eins mit den $h_{k}$-Geraden. In Abb. QN68 sind diese durch unterschiedliche Linienstile hervorgehoben.

In einer affinen Ebene seien $A$, $B$ und $C$ drei Punkte in allgemeiner Lage. Dann sind die drei Parallelenbüschel $[A\vgr B]$, $[A\vgr C]$ und $[B\vgr C]$ paarweise verschieden.

Angenommen $[A\vgr B]\para [B\vgr C]$ und damit $A\vgr B\para B\vgr C$. Nun gilt $B\in A\vgr B$ und $B\in B\vgr C$, also $B\in (A\vgr B)\cap (B\vgr C)$, was aber mit der Definition der Parallelität bedeutet, dass $A\vgr B= B\vgr C$ gilt. Nach Satz WI24 ist damit $C\in A\vgr B$ im Widerspruch zur Annahme, dass die drei Punkte in allgemeiner Lage sind. $\qed$

Im weiteren wird sich zeigen, dass in affinen Ebenen alle Geraden gleichmächtig sind.

Seien $g$ und $h$ nicht parallele Geraden einer affinen Ebene und $\chi: [g]\to h$ die folgende Abbildung von der Menge aller zu $g$ parallelen Geraden in die Menge der Punkte der Geraden $h$:

Dann gilt $\chi$ ist eine Bijektion. Damit können dann je zwei Geraden bijektiv aufeinander abgebildet werden.

Da $k\in [g]$ und $h$ nicht parallel sind (sie gehören zu verschiedenen Äquivalenzklassen), gibt es nach Satz UU90 einen eindeutig bestimmten Schnittpunkt $k\cap h$, also ist $\chi$ wohldefiniert.

Es gelte $\chi(k)=\chi(l)$ für $k,l\in[g]$, also $k\cap g=l\cap g=P$. Nach dem Parallelenaxiom ist die Parallele zu $g$ durch $P$ eindeutig. $P$ liegt auf dieser Parallele und auf $k$ und $l$, daher gilt $k=l$, womit gezeigt ist, dass $\chi$ injektiv ist. Sei $P\in h$ ein Punkt der Geraden $h$. Es gibt nach Parallelenaxiom eine Gerade $k$ mit $k\para g$ und $P\in k$, also gilt $\chi(k)=k\cap g=P$. Für jeden Punkt $P\in h$ gibt es ein Urbild, also ist $\chi$ ist surjektiv.

Zwei identische Geraden $g$ und $h$ können sicher bijektiv aufeinander abgebildet werden. Sei nun $g\ne h$. Dann gibt es nach Satz NF12 einen Punkt $A\in g$ mit $A\notin h$ und einen Punkt $B$ mit $B\in h$ und $B\notin g$ (vgl. Abb. QB07). Diese Punkte sind offensichtlich verschieden und ihre Verbindungsgerade $k=A\vgr B$ ist wohldefiniert. Außerdem ist $g\npara k$ wegen $A=g\cap k$ und $h\npara k$ wegen $B=h\cap k$. Damit gibt es nach dem oben Bewiesenen Bijektionen $\chi_g:[k]\to g$ und $\chi_h:[k]\to h$. Die Abbildung $\chi_h\circ \chi_g^\me: g\to h$ ist nach Satz 15XJ eine Bijektion, die $g$ und $h$ aufeinander abbildet. $\qed$