Methodik der mathematischen Statistik

Wäre die Altersverteilung in der Grundgesamtheit bekannt, könnten mit Formeln der Wahrscheinlichkeitstheorie Wahrscheinlichkeiten für die innerhalb von Stichproben beobachtbaren Altersverteilungen berechnet werden, die aufgrund der Zufallsauswahl der Stichproben zufälligen Schwankungen unterworfen sind. In der mathematischen Statistik nutzt man solche Berechnungen, um umgekehrt vom Stichprobenergebnis auf die Grundgesamtheit schlussfolgern zu können: Dabei werden auf Basis der konkret für eine Stichprobe beobachteten Merkmalswerte jene Häufigkeitsverteilungen innerhalb der Grundgesamtheit charakterisiert, mit denen das gemachte Beobachtungsergebnis in plausibler Weise erklärbar wird. Im Blickpunkt theoretischer Untersuchungen stehen nicht nur die getroffenen Schlussfolgerungen selbst, sondern auch Abschätzungen darüber, wie numerisch genau und wie sicher solche Prognosen sind.

Die einen Anwender interessierenden Häufigkeitsverteilungen sind nur indirekt Gegenstand der Methoden der mathematischen Statistik. Stattdessen beziehen sich diese Methoden auf Zufallsvariablen. Dabei werden insbesondere solche Zufallsvariablen betrachtet, deren Wahrscheinlichkeitsverteilung den relativen Häufigkeiten der Merkmalswerte entspricht. Speziell für das angeführte Beispiel der Altersverteilung ist ein realisierter Wert der Zufallsvariablen gleich dem Alter eines zufällig ausgewählten Deutschen. Auf diese Weise können die einer Stichprobe ermittelten Beobachtungswerte als sogenannte Realisierungen stochastisch unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen aufgefasst werden. Das Vorwissen wird in diesem Fall durch eine Familie von Wahrscheinlichkeitsverteilungen beziehungsweise durch eine entsprechende Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen repräsentiert. Man spricht von einer Verteilungsannahme. Diese kann sowohl Aussagen über mögliche Merkmalswerte, etwa in Bezug auf deren Ganzzahligkeit, als auch über den Typ der Verteilung, zum Beispiel "die Werte sind normalverteilt", beinhalten.

Das zentrale Gebiet der mathematischen Statistik ist die Schätztheorie, innerhalb der geeignete Schätzverfahren entwickelt werden. Methodisch wird dabei so vorgegangen, dass man ausgehend von der Verteilungsannahme bestimmte Klassen von Schätzfunktionen untersucht und hinsichtlich verschiedener Qualitätskriterien (etwa Suffizienz oder Effizienz) vergleicht. Bei einer solchen Schätzfunktion kann es sich sowohl um eine einwertige Näherung eines gesuchten Parameters der Grundgesamtheit handeln als auch um eine Bereichsschätzung in Form eines sogenannten Konfidenzintervalls. Konkrete Vermutungen über die Grundgesamtheit können durch geeignete statistische Tests überprüft werden. Dabei wird ausgehend von einer Hypothese auf Basis des Stichprobenergebnisses eine 0-1-Entscheidung über die Verwerfung beziehungsweise Beibehaltung der Hypothese herbeigeführt.