Beispielsweise von Ungleichungen mittels vollständiger Induktion

Beispiel 5227B

  1. n2>2n+1n^2>2n+1 für n≥3n\geq 3
  2. 2n>n22^n>n^2 für n≥5n\geq 5
  3. nn>n!n^n>n! für n≥2n\geq 2

Lösung

(i) Induktionsanfang: 9=32>2⋅3+1=79=3^2>2\cdot 3 +1=7
Induktionsschritt: (n+1)2=n2+2n+1(n+1)^2=n^2+2n+1 >2n+1+2n+1>2n+1+2n+1 >2n+3>2n+3
(ii) Induktionsanfang: 32=25>52=2532=2^5>5^2=25
Induktionsschritt: 2n+1=2⋅2n2^{n+1}=2\cdot 2^n >2⋅n2>2\cdot n^2 =n2+n2=n^2 +n^2
>n2+(2n+1)>n^2 + (2n+1) mit (i)
=(n+1)2=(n+1)^2
(iii) Induktionsanfang: 22=4>2=2!2^2=4>2=2!.
Induktionsschritt: (n+1)!=(n+1)⋅n!(n+1)!=(n+1)\cdot n! (Definition der Fakultät)
<(n+1)⋅nn<(n+1)\cdot n^n (Induktionsvoraussetzung)
≤(n+1)⋅(n+1)n=(n+1)n+1\leq(n+1)\cdot (n+1)^n=(n+1)^{n+1} □\qed
Diese Beispiel ist auch ohne Benutzung der Induktion sofort einsichtig. man mache sich anhand der einzelnen Faktoren klar, dass die nn Faktoren in nn=n⋅n⋅⋯⋅nn^n=n\cdot n\cdot\dots\cdot n ein größeres Produkt liefern als diejenigen von n!=n⋅(n−1)⋅⋯⋅1n!=n\cdot(n-1)\cdot\dots\cdot 1.
 
 

Alle Pädagogen sind sich darin einig: man muß vor allem tüchtig Mathematik treiben, weil ihre Kenntnis fürs Leben größten direkten Nutzen gewährt.

Felix Klein

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