Beispielbeweise von Produktformeln mittels vollständiger Induktion

Beispiel

Zu zeigen ist:
31⋅42⋅53⋅ … ⋅n+2n=∏i=1ni+2i=(n+1)(n+2)2\dfrac{3}{1} \cdot \dfrac{4}{2} \cdot \dfrac{5}{3} \cdot \, \dots \, \cdot \dfrac{n+2}{n} = \prod\limits_{i=1}^n \dfrac{i+2}{i} = \dfrac{(n+1)(n+2)}{2}

Beweis

Induktionsanfang: für n=1n=1 gilt: 31=2⋅32\dfrac 3 1=\dfrac{2\cdot 3} 2
Induktionsschritt:
∏i=1n+1i+2i \prod\limits_{i=1}^{n+1} \dfrac{i+2}{i} =n+3n+1 ⋅∏i=1ni+2i=\dfrac {n+3}{n+1}\, \cdot \prod\limits_{i=1}^n \dfrac{i+2}{i}
=n+3n+1 ⋅(n+1)(n+2)2=\dfrac {n+3}{n+1}\, \cdot\dfrac{(n+1)(n+2)}{2} (nach Induktionsvoraussetzung)
=(n+2)(n+3)2=\dfrac{(n+2)(n+3)}{2}
 
 

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Stephen Hawking

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