Beispielbeweise von Produktformeln mittels vollständiger Induktion

Beispiel

Zu zeigen ist:
314253n+2n=i=1ni+2i=(n+1)(n+2)2\dfrac{3}{1} \cdot \dfrac{4}{2} \cdot \dfrac{5}{3} \cdot \, \dots \, \cdot \dfrac{n+2}{n} = \prod\limits_{i=1}^n \dfrac{i+2}{i} = \dfrac{(n+1)(n+2)}{2}

Beweis

Induktionsanfang: für n=1n=1 gilt: 31=232\dfrac 3 1=\dfrac{2\cdot 3} 2
Induktionsschritt:
i=1n+1i+2i \prod\limits_{i=1}^{n+1} \dfrac{i+2}{i} =n+3n+1i=1ni+2i=\dfrac {n+3}{n+1}\, \cdot \prod\limits_{i=1}^n \dfrac{i+2}{i}
=n+3n+1(n+1)(n+2)2=\dfrac {n+3}{n+1}\, \cdot\dfrac{(n+1)(n+2)}{2} (nach Induktionsvoraussetzung)
=(n+2)(n+3)2=\dfrac{(n+2)(n+3)}{2}
 
 

Jede mathematische Formel in einem Buch halbiert die Verkaufszahl dieses Buches.

Stephen Hawking

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite ist urheberrechtlich geschützt und darf ohne Genehmigung des Autors nicht weiterverwendet werden.
Anbieterkеnnzeichnung: Mathеpеdιa von Тhοmas Stеιnfеld  • Dοrfplatz 25  •  17237 Blankеnsее  • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2)  •  Email: cο@maτhepedιa.dе