Vermischtes

Nullstellen

Man zeige, dass das Polynom \(\displaystyle x^5+x^4-4x^3-3x^2-2x-4\) für \(\displaystyle x>3\) keine Nullstellen besitzen kann.

Lösung

Zu zeigen ist:
(1)
\(\displaystyle x^5+x^4>4x^3+3x^2+2x+4\)
für \(\displaystyle x>3\) oder dazu äquivalent: \(\displaystyle x^3(x^2+x)>4x^3+3x^2+2x+4\) \(\displaystyle \iff x^2+x>4+\dfrac 3 x +\dfrac 2{x^2}+\dfrac 4{x^3}\). Für \(\displaystyle x>3\) ist die rechte Seite stets kleiner als \(\displaystyle 7\). Da \(\displaystyle x^2+x\) für \(\displaystyle x>0\) monoton wachsend ist und \(\displaystyle 3^2+3=12>7\) gilt die Behauptung.
Für \(\displaystyle x=2\) gilt die Ungleichung (1) nicht mehr, daher liegt eine Nullstelle zwischen \(\displaystyle 2\) und \(\displaystyle 3\).
 
 

Ich glaube, daß es, im strengsten Verstand, für den Menschen nur eine einzige Wissenschaft gibt, und diese ist reine Mathematik. Hierzu bedürfen wir nichts weiter als unseren Geist.

Georg Christoph Lichtenberg

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