Vermischtes

Nullstellen

Man zeige, dass das Polynom

x^5+x^4-4x^3-3x^2-2x-4

für

x>3

keine Nullstellen besitzen kann.

Zu zeigen ist:

x^5+x^4>4x^3+3x^2+2x+4

(1)

für

x>3

oder dazu äquivalent:

x^3(x^2+x)>4x^3+3x^2+2x+4

\iff x^2+x>4+\dfrac 3 x +\dfrac 2{x^2}+\dfrac 4{x^3}

. Für

x>3

ist die rechte Seite stets kleiner als

7

. Da

x^2+x

für

x>0

3^2+3=12>7

gilt die Behauptung.

Für

x=2

gilt die Ungleichung (1) nicht mehr, daher liegt eine Nullstelle zwischen

2

und

3

Alle Pädagogen sind sich darin einig: man muß vor allem tüchtig Mathematik treiben, weil ihre Kenntnis fürs Leben größten direkten Nutzen gewährt.

Felix Klein

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