100 Euro

Wie viele Möglichkeiten gibt es 100€ aus genau 100 Münzen vom Wert 50 Cent, 1€ und 2€ zu kombinieren? Dabei soll jede Art von Münzen wenigstens einmal vorkommen.

Wir stellen die beiden Gleichungen

und

auf, wobei $x$ die Anzahl der 50 Cent Stücke, $y$ und $z$ die Anzahlen der 1 und 2 Euro Stücke bezeichnen.

Dann multiplizieren wir (2) mit 2: $x+2y+4z=200$ und subtrahieren (1):

Da uns nur ganzzahlige Lösungen interessieren, handelt es sich hier um eine lineare diophantische Gleichung und wir könnten die dort diskutierten Lösungsverfahren verwenden. Da die Gleichung ziemlich einfach ist, geht es auch anders: Offensichtlich gilt $y=100-3z$. Verwenden wir nun $z$ als Parameter von dem die Lösungen abhängen, so ergibt sich aus (1) $x=100-y-z$ $=100-(100-3z)-z=2z$. Alle möglichen Lösungen müssen die Form

haben.

Setzen wir $z=1$, so ergibt sich mit $(2,97,1)$ tatsächlich eine Lösung des Problems. Um alle weiteren Lösungen zu finden, betrachten wir die Nebenbedingungen $x,y,z\geq 1$. In der parametrisierten Form bedeutet dies $2z\ge 1$ (gilt schon wegen $z\ge 1$) und $100-3z\ge 1$. Dies ist gleichwertig zu $3z\le 99$, also $z\le 33$. Damit finden wir für jedes $z=1\dots 33$ eine Lösung.

Es gibt also 33 Möglichkeiten die 100 € zusammenzusetzen.

Einige Lösungen sind:

$(2,97,1)$

$(4,94,2)$

...

$(40,40,20)$ (gleich viele 50 Cent und 1€ Stücke)

...

$(50,25,25)$ (gleich viele 1€ und 2€ Stücke)

...

$(66,1,33)$