100 Euro

Wie viele Möglichkeiten gibt es 100€ aus genau 100 Münzen vom Wert 50 Cent, 1€ und 2€ zu kombinieren? Dabei soll jede Art von Münzen wenigstens einmal vorkommen.
startSol(33)

Lösung

Wir stellen die beiden Gleichungen
(1)
\(\displaystyle x+y+z=100\)
und
(2)
\(\displaystyle 0,5x+y+2z=100\)
auf, wobei \(\displaystyle x\) die Anzahl der 50 Cent Stücke, \(\displaystyle y\) und \(\displaystyle z\) die Anzahlen der 1 und 2 Euro Stücke bezeichnen.
Dann multiplizieren wir (2) mit 2: \(\displaystyle x+2y+4z=200\) und subtrahieren (1):
\(\displaystyle y+3z=100\)
Da uns nur ganzzahlige Lösungen interessieren, handelt es sich hier um eine lineare diophantische Gleichung und wir könnten die dort diskutierten Lösungsverfahren verwenden. Da die Gleichung ziemlich einfach ist, geht es auch anders: Offensichtlich gilt \(\displaystyle y=100-3z\). Verwenden wir nun \(\displaystyle z\) als Parameter von dem die Lösungen abhängen, so ergibt sich aus (1) \(\displaystyle x=100-y-z\) \(\displaystyle =100-(100-3z)-z=2z\). Alle möglichen Lösungen müssen die Form
\(\displaystyle (2z, 100-3z,z)\)
haben.
Setzen wir \(\displaystyle z=1\), so ergibt sich mit \(\displaystyle (2,97,1)\) tatsächlich eine Lösung des Problems. Um alle weiteren Lösungen zu finden, betrachten wir die Nebenbedingungen \(\displaystyle x,y,z\geq 1\). In der parametrisierten Form bedeutet dies \(\displaystyle 2z\ge 1\) (gilt schon wegen \(\displaystyle z\ge 1\)) und \(\displaystyle 100-3z\ge 1\). Dies ist gleichwertig zu \(\displaystyle 3z\le 99\), also \(\displaystyle z\le 33\). Damit finden wir für jedes \(\displaystyle z=1\dots 33\) eine Lösung.
Es gibt also 33 Möglichkeiten die 100 € zusammenzusetzen.
Einige Lösungen sind:
\(\displaystyle (2,97,1)\)
\(\displaystyle (4,94,2)\)
...
\(\displaystyle (40,40,20)\) (gleich viele 50 Cent und 1€ Stücke)
...
\(\displaystyle (50,25,25)\) (gleich viele 1€ und 2€ Stücke)
...
\(\displaystyle (66,1,33)\)
 
 

Es ist unglaublich, wie unwissend die studirende Jugend auf Universitäten kommt, wenn ich nur 10 Minuten rechne oder geometrisire, so schläft 1/4 derselben sanft ein.

Georg Christoph Lichtenberg

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite ist urheberrechtlich geschützt und darf ohne Genehmigung des Autors nicht weiterverwendet werden.
Anbieterkеnnzeichnung: Mathеpеdιa von Тhοmas Stеιnfеld  • Dοrfplatz 25  •  17237 Blankеnsее  • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2)  •  Email: cο@maτhepedιa.dе