Satz von Kuratowski

Der Satz von Kuratowski (nach Kazimierz Kuratowski) macht wichtige Aussagen zu planaren Graphen und beantwortet die Frage nach der Plättbarkeit (Planarität) eines Graphen.

Allgemein formuliert ist ein Graph genau dann planar (plättbar), wenn es möglich ist den Graphen so zu zeichnen, dass sich die Kanten des Graphen nicht schneiden. Die Kanten dürfen sich lediglich in den Knoten des Graphen berühren.

Die folgenden beiden Graphen sind planar, wobei die Planarität von G2 erst deutlich wird, wenn man G2 anders zeichnet.

Der Satz von Kuratowski benutzt zwei spezielle Graphen:

$K_{5}$ und $K_{3,3}$. Bei $K_{5}$ handelt es sich um den vollständigen Graphen mit 5 Knoten, bei $K_{3,3}$ um einen vollständig bipartiten Graphen, der in zwei je dreielementige Teilmengen aufgeteilt ist. Beide Graphen sind nicht planar. Sie sind sogar die kleinsten nicht-planaren Graphen überhaupt, was direkt aus dem Satz von Kuratowski folgt.

Ein endlicher Graph ist genau dann planar, wenn er keinen Teilgraphen enthält, der durch Erweiterung von $K_{5}$ oder $K_{3,3}$ entstanden ist. Erweiterung bedeutet hier das beliebig oft wiederholbare (auch Null mal) Einfügen von neuen Knoten auf Kanten. Mit Teilgraph ist hier ein Graph gemeint, der aus dem ursprünglichen Graphen durch Entfernen von Knoten bzw. Kanten entsteht, wobei die Entfernung eines Knoten mitsamt aller inzidenten Kanten einen induzierten Teilgraph ergibt.

Äquivalente Formulierungen des Satzes von Kuratowski sind: und

Eine Verallgemeinerung des Satzes von Kuratowki ist der Satz von Robertson und Seymour.