Riccatische Differentialgleichung

Die Riccati Differentialgleichung hat die Gestalt

Diese DGL ist im allgemeinen Fall nicht durch Integrale lösbar. Hat man jedoch eine spezielle Lösung $y_1$ ermittelt, so kann man die DGL auf eine Bernoullische Differentialgleichung zurückführen.

Es ist $y'-y_1'=f(x)y^2+g(x)y+h(x)-y_1'$ $=f(x)y^2+g(x)y-f(x)y_1^2-g(x)y_1$ $=g(x)y-g(x)y_1+2f(x)y_1y-2f(x)y_1^2$ $+f(x)y^2-2f(x)y_1y+f(x)y_1^2$ $=(g(x)+2f(x)y_1)(y-y_1)+f(x)(y-y_1)^2$.

Setzen wir nun $z=y-y_1$ erhalten wir die Bernoullische Differentialgleichung

die mit den entsprechenden Methoden gelöst werden kann.

$y'=-(x+1)y^2-y-\dfrac {x-3}{4x^2}$

$y_1=-\dfrac 1 {2x}$ ist eine spezielle Lösung dieser DGL. Mit der Substitution $z=y-y_1$, ergibt sich $z'=\braceNT{-1+2(x+1)\dfrac 1 {2x}}z-(x+1)z^2$ $=\dfrac z x-(x+1)z^2$. Diese Bernoullische Differentialgleichung wurde in Beispiel 168M gelöst; sie hat die allgemeine Lösung $z=\dfrac{6x} {2x^3+3x^2+C}$. Die allgemeine Lösung der Riccatischen Differentialgleichung ist damit $y=\dfrac{6x} {2x^3+3x^2+C}-\dfrac 1 {2x}$.