Bernoullische Differentialgleichung

Die Bernoulli Differentialgleichung ist eine DGL erster Ordnung und hat die Gestalt
y=f(x)y+g(x)yαy'=f(x)y+g(x)y^\alpha α1\alpha\neq 1.
Für α=1\alpha= 1 erhalten wir eine lineare Differentialgleichung.

Lösungsmethode

Nach Division durch yαy^\alpha ergibt sich
yαy=f(x)y1α+g(x)y^{-\alpha}y'=f(x)y^{1-\alpha}+g(x).
Nun führen wir mit z=y1αz=y^{1-\alpha} und z=(1α)yαyz'=(1-\alpha)y^{-\alpha}y' eine Variablentransformation durch und erhalten
z1α=f(x)z+g(x)\dfrac {z'}{1-\alpha}=f(x)z+g(x).
Daraus ergibt sich
z=(1α)f(x)z+(1α)g(x)z'=(1-\alpha)f(x)z+(1-\alpha)g(x),
wobei es sich um eine lineare Differentialgleichung handelt, die mit den entsprechenden Methoden gelöst werden kann.

Beispiel 168M

y=yx(x+1)y2y'=\dfrac y x-(x+1)y^2     yy2=1xy(x+1)\implies \dfrac{y'} {y^2}=\dfrac 1{xy}-(x+1). Substitution z=y1z=y^\me und z=y2yz'=- y^{-2}y' ergibt z=zx(x+1)-z'=\dfrac z x -(x+1)     z+zx=x+1\implies z'+\dfrac z x =x+1. Diese DGL wurde im Beispiel 168L gelöst, wo wir z=x23+x2+Cxz=\dfrac{x^2} 3+ \dfrac {x} 2+\dfrac C x erhalten hatten. Die Rücksubstitution ergibt 1y=x23+x2+Cx\dfrac 1 y=\dfrac{x^2} 3+ \dfrac {x} 2+\dfrac C x     y=6x2x3+3x2+6C\implies y=\dfrac{6x} {2x^3+3x^2+6C}
 
 

Strukturen sind die Waffen der Mathematiker.

N. Bourbaki

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