Bernoullische Differentialgleichung

Die Bernoulli Differentialgleichung ist eine DGL erster Ordnung und hat die Gestalt
y′=f(x)y+g(x)yαy'=f(x)y+g(x)y^\alpha α≠1\alpha\neq 1.
Für α=1\alpha= 1 erhalten wir eine lineare Differentialgleichung.

Lösungsmethode

Nach Division durch yαy^\alpha ergibt sich
y−αy′=f(x)y1−α+g(x)y^{-\alpha}y'=f(x)y^{1-\alpha}+g(x).
Nun führen wir mit z=y1−αz=y^{1-\alpha} und z′=(1−α)y−αy′z'=(1-\alpha)y^{-\alpha}y' eine Variablentransformation durch und erhalten
z′1−α=f(x)z+g(x)\dfrac {z'}{1-\alpha}=f(x)z+g(x).
Daraus ergibt sich
z′=(1−α)f(x)z+(1−α)g(x)z'=(1-\alpha)f(x)z+(1-\alpha)g(x),
wobei es sich um eine lineare Differentialgleichung handelt, die mit den entsprechenden Methoden gelöst werden kann.

Beispiel 168M

y′=yx−(x+1)y2y'=\dfrac y x-(x+1)y^2   ⟹  y′y2=1xy−(x+1)\implies \dfrac{y'} {y^2}=\dfrac 1{xy}-(x+1). Substitution z=y−1z=y^\me und z′=−y−2y′z'=- y^{-2}y' ergibt −z′=zx−(x+1)-z'=\dfrac z x -(x+1)   ⟹  z′+zx=x+1\implies z'+\dfrac z x =x+1. Diese DGL wurde im Beispiel 168L gelöst, wo wir z=x23+x2+Cxz=\dfrac{x^2} 3+ \dfrac {x} 2+\dfrac C x erhalten hatten. Die Rücksubstitution ergibt 1y=x23+x2+Cx\dfrac 1 y=\dfrac{x^2} 3+ \dfrac {x} 2+\dfrac C x   ⟹  y=6x2x3+3x2+6C\implies y=\dfrac{6x} {2x^3+3x^2+6C}
 
 

Strukturen sind die Waffen der Mathematiker.

N. Bourbaki

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite ist urheberrechtlich geschützt und darf ohne Genehmigung des Autors nicht weiterverwendet werden.
Anbieterkеnnzeichnung: Mathеpеdιa von Тhοmas Stеιnfеld  • Dοrfplatz 25  •  17237 Blankеnsее  • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2)  •  Email: cο@maτhepedιa.dе
Datenschutzerklärung

 

DGL Erster Ordnung