Das charakteristische Polynom eines Endomorphismus

Problem: Wie findet man die Eigenwerte λ\lambda einer linearen Abbildung f ⁣:V→Vf \colon V \to V (dim⁡V=n∈N\dim V = n \in {\N})? Lösung: λ\lambda Eigenwert von ff ist äquivalent zu Eλ:=ker(f−λid⁡)≠0   ⟺   f−id⁡λE_\lambda := \Ker(f-\lambda\id) \ne 0 \,\iff\, f - \id \lambda ist nicht regulär, wiederum (nach Satz 16N6) äquivalent zu det⁡(f−λid⁡)=0   ⟺   det⁡(A−λE)=0\det (f-\lambda\id) = 0 \,\iff\, \det(A-\lambda E) = 0 mit der Darstellungsmatrix AA von ff bezüglich irgendeiner Basis von VV. Die formale Entwicklung von
det⁡(A−tE)=∣a11−ta12…a1na21a22−t…⋮⋮ ⋱⋮an1……ann−t∣\det(A-tE) = {\begin{vmatrix}a_{11}-t&a_{12}&\dots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}-t&\dots&\vdots\\ \vdots&\, &\ddots&\vdots \\ a_{n1}&\dots&\dots &a_{nn}-t \end{vmatrix}}
mit einer Unbestimmten tt zeigt, dass det⁡(f−tid⁡)=det⁡(A−tE)\det(f-t\id) = \det(A-tE) ein Polynom aus K[t]K[t] vom Grade nn ist Dieses heißt das charakteristische Polynom.

Beispiel

Sei A=(010210−101)A= \begin{pmatrix} 0&1&0\\2&1&0\\-1&0&1 \end{pmatrix},  A−tE=(−t−10−21−t0101−t)\ A-tE= \begin{pmatrix} -t&-1&0\\-2&1-t&0\\1&0&1-t \end{pmatrix} . Dann ist: det⁡(A−tE)=−t(t−1)2+2(t−1) \det(A-tE)= -t(t-1)^2+2(t-1)=−t3+2t2+t−1 =-t^3+2t^2+t-1

Satz 81GE

Sei VV ein Vektorraum über K{\mathbb{K}} mit dim⁡V=n∈N\dim V = n \in {\N} und f ⁣:V→Vf \colon V \to V ein Endomorphismus. Dann gilt Die Eigenwerte λ∈K\lambda \in K von ff sind genau die Nullstellen des charakteristischen Polynoms
χf(t):=det⁡(f−tid⁡)∈K[t] \chi_f(t) := \det(f-t\id) \in K[t]
von ff vom Grade n=dim⁡Vn = \dim V. Mit der Darstellungsmatrix AA von ff bezüglich einer beliebigen Basis von VV gilt
χf(t)=det⁡(A−tE)=:χA(t) \chi_f(t) = \det(A-tE) =: \chi_A(t)
genannt charakteristisches Polynom der Matrix A∈Mat(n,n,K)A \in \Mat(n,n,{\mathbb{K}}).

Bemerkung

Das charakteristische Polynom χf(t)\chi_f(t) eines Endomorphismus ff (samt Koeffizienten und Nullstellen) ist eine basisinvariante Grösse, ändert sich beim Wechsel der Basis also nicht. Ähnliche Matrizen A≈A′A \approx A' besitzen das gleiche charakteristische Polynom χA(t)=χA′(t)\chi_A(t) = \chi_{A'}(t). Auch beim Übergang von AA zur transponierten Matrix ATA^T ändert sich das charakteristische Polynom nicht: χA(t)=χAT(t)\chi_A(t) = \chi_{A^T}(t). χAT(t)=det⁡(AT−tE)\chi_{A^T}(t) = \det(A^T-tE) =det⁡((A−tE)T) = \det \left((A-tE)^T\right) =det⁡(A−tE)=χA(t) = \det(A-tE) = \chi_A(t).

Satz 81IE

Das charakteristische Polynom χf(t)\chi_f(t) von f ⁣:V→Vf \colon V \to V (dim⁡V=n∈N\dim V = n \in {\N}) besitzt die Gestalt
χf(t)=∑m=0n(−1)n−mkm(f)tn−m \chi_f(t) = \sum\limits_{m=0}^n (-1)^{n-m}k_m(f) t^{n-m} =kn(f)−kn−1(f)t+⋯±k1(f)tn−1∓k0(f)tn = k_n(f) - k_{n-1}(f)t + \dots \pm k_1(f)t^{n-1} \mp k_0(f)t^n
mit Koeffizienten km(f)∈Kk_m(f) \in K (0≤m≤n0 \le m \le n), den sogenannten Elementarinvarianten von ff. Diese lassen sich mit irgendeiner Basis {b1,…,bn}\{ b_1,\dots,b_n \} von VV und irgendeiner nichttrivialen Determinantenform Δ\Delta auf VV berechnen durch:
km(f)=∑1≤i1<⋯<im≤nΔ(b1,…,f(bi1),…,f(bim),…,bn)Δ(b1,…,bn) k_m(f) = \sum\limits_{1 \le i_1 < \dots < i_m \le n} \dfrac{\Delta\left(b_1,\dots,f(b_{i_1}),\dots,f(b_{i_m}),\dots,b_n\right)}{\Delta(b_1,\dots,b_n)}
Insbesondere gilt: k0(f)=1k_0(f) = 1, k1=tr⁡f=∑i=1nΔ(b1,…,f(bi)(i),…,bn)Δ(b1,…,bn)k_1 = \operatorname{tr} f = \sum\limits_{i=1}^n \dfrac{\Delta(b_1,\dots,\stackrel{(i)}{f(b_i)},\dots,b_n)}{\Delta(b_1,\dots,b_n)} (Spur von ff) und kn(f)=det⁡f=Δ(f(b1),…,f(bn))Δ(b1,…,bn)k_n(f) = \det f = \dfrac{\Delta(f(b_1),\dots,f(b_n))}{\Delta(b_1,\dots,b_n)} (Determinante von ff).

Beweis

χf(t)=det⁡(f−tid⁡) \chi_f(t) = \det(f-t\id) =Δ(f(b1)−tb1,…,f(bn)−tbn)Δ(b1,…,bn) = \dfrac{\Delta\left(f(b_1)-tb_1,\dots,f(b_n)-tb_n\right)}{\Delta(b_1,\dots,b_n)} =1Δ(b1,…,bn)[Δ(−tb1,…,−tbn)+∑i=1nΔ(−tb1,…,f(bi),…,−tbn)+⋯+∑1≤i1<⋯<im≤nΔ(−tb1,…,f(bi−1),…,f(bim),…,−tbn)+Δ(f(b1),…,f(bm))] = \dfrac{1}{\Delta(b_1,\dots,b_n)} \left [ \Delta(-tb_1,\dots,-tb_n) + \sum\limits_{i=1}^n \Delta(-tb_1,\dots,f(b_i),\dots,-tb_n)+ \dots + \sum\limits_{1 \le i_1 < \dots < i_m \le n} \Delta(-tb_1,\dots,f(b_{i-1}),\dots,f(b_{i_m}),\dots,-tb_n) + \Delta(f(b_1),\dots,f(b_m)) \right] =1⋅(−t)n+k1(f)(−t)n−1+⋯+km(f)(−t)n−m+kn(f)(−t)0 = 1 \cdot (-t)^n + k_1(f)(-t)^{n-1} + \dots + k_m(f)(-t)^{n-m} + k_n(f)(-t)^0 Man kann die Koeffizienten km(t)k_m(t) auch durch die Einträge der Darstellungsmatrix AA von ff bezüglich der verwendeten Basis {b1,…,bn}\{ b_1,\dots,b_n \} ausdrücken: Wegen f(bi)=∑l=1naliblf(b_i) = \sum\limits_{l=1}^n a_{li}b_l folgt km(A):=∑1≤i1<⋯<im≤nΔ(b1,…,∑l1=1nal1i1bl1(i1),…,∑lm=1nalmimblm,…,bn(im),…,bn)Δ(b1,…,bn) k_{m}(A) := \sum\limits_{1 \le i_1 < \dots < i_m \le n} \dfrac{\Delta(b_1,\dots,\stackrel{(i_1)}{\sum\limits_{l_1=1}^n a_{l_1i_1}b_{l_1}}, \dots,\stackrel{(i_m)}{\sum\limits_{l_m=1}^na_{l_mi_m}b_{l_m},\dots,b_n},\dots,b_n)} {\Delta(b_1,\dots,b_n)} =∑i1<⋯<im∑l1,…,lm=1nal1i1⋯almimΔ(b1,…,bl1(i1),…,blm(im),…,bn)Δ(b1,…,bn) = \sum\limits_{i_1<\dots<i_m} \sum\limits_{l_1,\dots,l_m=1}^n a_{l_1i_1}\cdots a_{l_mi_m} \dfrac{\Delta(b_1,\dots,\stackrel{(i_1)}{b_{l_1}},\dots, \stackrel{(i_m)}{b_{l_m}},\dots,b_n)}{\Delta(b_1,\dots,b_n)} =∑i1<⋯<im∑σ∈Smaiσ(1)i1⋯aiσ(m)imΔ(b1,…,biσ(1),…,biσ(m),…,bn)Δ(b1,…,bn) = \sum\limits_{i_1<\dots<i_m} \sum\limits_{\sigma\in S_m} a_{i_{\sigma(1)}i_1} \cdots a_{i_{\sigma(m)}i_m} \dfrac{\Delta(b_1,\dots,b_{i\sigma(1)},\dots,b_{i\sigma(m)},\dots,b_n)} {\Delta(b_1,\dots,b_n)} =∑i1<⋯<im∑σ∈Smsgn⁡σaiσ(1)i1⋯aiσ(m)im⋅1 = \sum\limits_{i_1<\dots<i_m} \sum\limits_{\sigma \in S_m} \operatorname{sgn}\sigma a_{i_{\sigma(1)}i_1} \cdots a_{i_{\sigma(m)}i_m} \cdot 1 =π=σ−1∑i1<⋯<im∑π∈Smsgn⁡πai1iπ(1)⋯aimiπ(m) \stackrel{\pi=\sigma^{-1}}{=} \sum\limits_{i_1<\dots<i_m} \sum\limits_{\pi \in S_m} \operatorname{sgn}\pi a_{i_1i_{\pi(1)}}\cdots a_{i_mi_{\pi(m)}} □\qed
Korollar: Für die Koeffizienten km(A)k_m(A) (0≤m≤n0 \le m \le n) des charakteristischen Polynoms
χA(t)=∣a11−t⋯a1n⋮⋱⋮an1⋯ann−t∣=∑m=0nkm(A)(−t)n−m \chi_A(t) = \begin{vmatrix} a_{11}-t & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn}-t \end{vmatrix} = \sum\limits_{m=0}^n k_m(A)(-t)^{n-m}
einer Matrix A∈Mat(n×n,K)A \in \Mat(n\cross n,{\mathbb{K}}) gilt:
km(A)=∑1≤i1<⋯<im≤n∑π∈Snsgn⁡πai1iπ(1)⋯aimiπ(m) k_m(A) = \sum\limits_{1\le i_1 < \dots < i_m \le n} \sum\limits_{\pi\in S_n} \operatorname{sgn}\pi a_{i_1i_{\pi(1)}} \cdots a_{i_mi_{\pi(m)}} =∑1≤i1<⋯<im≤n∣ai1i1⋯ai1im⋮⋱⋮aimi1⋯aimim∣ = \sum\limits_{1 \le i_1 < \dots < i_m \le n} \begin{vmatrix} a_{i_1i_1} & \cdots & a_{i_1i_m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i_mi_1} & \cdots & a_{i_mi_m} \end{vmatrix}
Insbesondere ist k0(A)=1k_0(A) = 1, k1(A)=spur⁡A=∑i=1naiik_1(A) = \operatorname{spur} A = \sum\limits_{i=1}^n a_{ii} (Spur von AA) und kn(A)=det⁡Ak_n(A) = \det A =∑π∈Snsgn⁡πa1π(1)⋯anπ(n) = \sum\limits_{\pi\in S_n} \operatorname{sgn}\pi a_{1\pi(1)} \cdots a_{n\pi(n)} (Determinante von AA). Wichtig: Die Zahlen km(A)k_m(A), insbesondere Spur und Determinante sind unabhängig von der verwendeten Darstellungsmatrix AA. Sie ändern sich nicht, wenn man zu einer ähnlichen Matrix A′=TAT−1A' = TAT^{-1} übergeht.

Beispiel

Für n=2n=2 ergibt sich: χA(t)=t2−spur⁡A⋅t+det⁡A\chi_A(t) = t^2 - \operatorname{spur} A \cdot t + \det A. Für n=3n=3 erhält man: χA(t)=−t3+spur⁡A⋅t2−k2(A)⋅t+det⁡A\chi_A(t) = -t^3 + \operatorname{spur} A \cdot t^2 - k_2(A) \cdot t + \det A mit k2(A)=∣a11a12a21a22∣+∣a11a13a31a33∣+∣a22a23a32a33∣k_2(A) = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}.
 
 

Das ist ein Mittel, das Paradies nicht zu verfehlen: auf der einen Seite einen Mathematiker, auf der anderen einen Jesuiten; mit dieser Begleitung muß man seinen Weg machen, oder man macht ihn niemals.

Friedrich der Große

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