Singleton difference (P136)

https://projecteuler.net/problem=136
3d2+2xd−x2−n=0\displaystyle{{3}{d}^{{2}}+{2}{x}{d}-{x}^{{2}}-{n}={0}}
x2−y2−z2=nx^2-y^2-z^2=n Eine Lösung für n=20\displaystyle{{n}={20}}:
132−102−72=2013^2-10^2-7^2=20
342−272−202=122−92−62=27\displaystyle{{34}^{{2}}−{27}^{{2}}−{20}^{{2}}={12}^{{2}}−{9}^{{2}}−{6}^{{2}}={27}}
Arithmetische Progression mit d>0,x>0\displaystyle{{d}>{0},{x}>{0}}
(x+2d)2−(x+d)2−x2=n(x+2d)^2-(x+d)^2-x^2=n
=x2+4dx+4d2−x2−2dx−d2−x2= x^2+4dx +4d^2 -x^2-2dx-d^2-x^2
=−x2+2dx+3d2=n=-x^2 +2dx + 3d^2 = n
also:(3d−x)(d+x)=n(3d-x)(d+x) = n
dh. 3d−x≥13d-x \ge 1, x≤3d−1x \le 3d-1,

d≥x+13d\ge \frac {x+1} 3

x≤3d−1⇒x+1≤3d\displaystyle{{x}\le{3}{d}-{1}\Rightarrow{x}+{1}\le{3}{d}} aber auch
x+d≤n⇒3d≤3n−3x\displaystyle{{x}+{d}\le{n}\Rightarrow{3}{d}\le{3}{n}-{3}{x}} ⇒x+1≤3d≤3n−3x\displaystyle{\Rightarrow{x}+{1}\le{3}{d}\le{3}{n}-{3}{x}} ⇒4x+1≤3n\displaystyle{\Rightarrow{4}{x}+{1}\le{3}{n}} also
x≤3n−14\displaystyle{{x}\le\frac{{{3}{n}-{1}}}{{4}}}
d≤n−x\displaystyle{{d}\le{n}-{x}}
 
 

Bed2

3d−x≤n\displaystyle{{3}{d}-{x}\le{n}} bzw. d+x≥1\displaystyle{{d}+{x}\ge{1}}
3d≤n+x\displaystyle{{3}{d}\le{n}+{x}}
−x≤d−1⇒−3x≤3d−3⇒−3x≤n+x−3\displaystyle{-{x}\le{d}-{1}\Rightarrow-{3}{x}\le{3}{d}-{3}\Rightarrow-{3}{x}\le{n}+{x}-{3}} ⇒−4x≤n−3\displaystyle{\Rightarrow-{4}{x}\le{n}-{3}} ⇒x≥−n−34\displaystyle{\Rightarrow{x}\ge-\frac{{{n}-{3}}}{{4}}}

Quadratische Gleichung nach dd

3d2+2xd−x2−n=0\displaystyle{{3}{d}^{{2}}+{2}{x}{d}-{x}^{{2}}-{n}={0}}
⇒d2+23xd−13(x2+n)=0\displaystyle{\Rightarrow{d}^{{2}}+\frac{{2}}{{3}}{x}{d}-\frac{{1}}{{3}}{\left({x}^{{2}}+{n}\right)}={0}}
d1,2=−13x±19x2+13(x2+n)\displaystyle{{d}_{{{1},{2}}}=-\frac{{1}}{{3}}{x}\pm\sqrt{{\frac{{1}}{{9}}{x}^{{2}}+\frac{{1}}{{3}}{\left({x}^{{2}}+{n}\right)}}}} =−13x±19(x2+3(x2+n))\displaystyle{=-\frac{{1}}{{3}}{x}\pm\sqrt{{\frac{{1}}{{9}}{\left({x}^{{2}}+{3}{\left({x}^{{2}}+{n}\right)}\right)}}}} =−13x±19(4x2+3n)\displaystyle{=-\frac{{1}}{{3}}{x}\pm\sqrt{{\frac{{1}}{{9}}{\left({4}{x}^{{2}}+{3}{n}\right)}}}}
=13(−x±4x2+3n)\displaystyle{=\frac{{1}}{{3}}{\left(-{x}\pm\sqrt{{{4}{x}^{{2}}+{3}{n}}}\right)}}

Teilbarkeit

Für ein gegebenes x\displaystyle{{x}} muss 4x2+3n\displaystyle{{4}{x}^{{2}}+{3}{n}} eine Quadratzahl sein
4x2+3n≤4⋅(3n−14)2+3n=9n2−6n+1+12n4=9n2+6n+14=(3n+1)24\displaystyle{{4}{x}^{{2}}+{3}{n}\le{4}\cdot{\left(\frac{{{3}{n}-{1}}}{{4}}\right)}^{{2}}+{3}{n}=\frac{{{9}{n}^{{2}}-{6}{n}+{1}+{12}{n}}}{{4}}=\frac{{{9}{n}^{{2}}+{6}{n}+{1}}}{{4}}=\frac{{\left({3}{n}+{1}\right)}^{{2}}}{{4}}}
d≤13(3n+12−x)\displaystyle{{d}\le\frac{{1}}{{3}}{\left(\frac{{{3}{n}+{1}}}{{2}}-{x}\right)}}
n=(x+c)2−x2−(x−c)2=x2+2xc+c2−x2−x2+2xc−c2\displaystyle{{n}={\left({x}+{c}\right)}^{{2}}-{x}^{{2}}-{\left({x}-{c}\right)}^{{2}}={x}^{{2}}+{2}{x}{c}+{c}^{{2}}-{x}^{{2}}-{x}^{{2}}+{2}{x}{c}-{c}^{{2}}} =−x2+4cx\displaystyle{=-{x}^{{2}}+{4}{c}{x}}
n=x(4c−x)=−x2+4xc\displaystyle{{n}={x}{\left({4}{c}-{x}\right)}=-{x}^{{2}}+{4}{x}{c}}
c=x2+n4x=14(x+nx)\displaystyle{{c}=\frac{{{x}^{{2}}+{n}}}{{{4}{x}}}=\frac{{1}}{{4}}{\left({x}+\frac{{n}}{{x}}\right)}}
x>c⇒x>14(x+nx)⇒3x>nx⇒x2>n3⇒x≥n3\displaystyle{{x}>{c}\Rightarrow{x}>\frac{{1}}{{4}}{\left({x}+\frac{{n}}{{x}}\right)}\Rightarrow{3}{x}>\frac{{n}}{{x}}\Rightarrow{x}^{{2}}>\frac{{n}}{{3}}\Rightarrow{x}\ge\sqrt{{\frac{{n}}{{3}}}}}
x=n⇒d=14(n+1)\displaystyle{{x}={n}\Rightarrow{d}=\frac{{1}}{{4}}{\left({n}+{1}\right)}}

Ein Mathematiker ist eine Maschine, die Kaffee in Theoreme verwandelt.

Paul Erdös

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