Special isosceles triangles (P138)

h2+(b2)2=l2\displaystyle{{h}^{{2}}+{\left(\frac{{b}}{{2}}\right)}^{{2}}={l}^{{2}}}
h=b±1\displaystyle{{h}={b}\pm{1}}
(b±1)2+(b2)2=l2\displaystyle{{\left({b}\pm{1}\right)}^{{2}}+{\left(\frac{{b}}{{2}}\right)}^{{2}}={l}^{{2}}} ⇒b2±2b+1+b24=l2\displaystyle{\Rightarrow{b}^{{2}}\pm{2}{b}+{1}+\frac{{b}^{{2}}}{{4}}={l}^{{2}}}
5b2±8b+4=4l2=(2l)2\displaystyle{{5}{b}^{{2}}\pm{8}{b}+{4}={4}{l}^{{2}}={\left({2}{l}\right)}^{{2}}}
⇒5b2\displaystyle{\Rightarrow{5}{b}^{{2}}} ist gerade ⇒b\displaystyle{\Rightarrow{b}} gerade
b=2c\displaystyle{{b}={2}{c}}
5⋅4c2±16c+4=(2l)2\displaystyle{{5}\cdot{4}{c}^{{2}}\pm{16}{c}+{4}={\left({2}{l}\right)}^{{2}}} ⇒5c2±4c+1=l2\displaystyle{\Rightarrow{5}{c}^{{2}}\pm{4}{c}+{1}={l}^{{2}}} ⇒5c2±4c=l2−1=(l+1)⋅(l−1)\displaystyle{\Rightarrow{5}{c}^{{2}}\pm{4}{c}={l}^{{2}}-{1}={\left({l}+{1}\right)}\cdot{\left({l}-{1}\right)}}
Reste linke Seite mod4\displaystyle{\text{mod}{4}}
c≡0mod4⇒1\displaystyle{{c}\equiv{0}\text{mod}{4}\Rightarrow{1}}
c≡1mod4⇒2\displaystyle{{c}\equiv{1}\text{mod}{4}\Rightarrow{2}}
c≡2mod4⇒1\displaystyle{{c}\equiv{2}\text{mod}{4}\Rightarrow{1}}
c≡3mod4⇒2\displaystyle{{c}\equiv{3}\text{mod}{4}\Rightarrow{2}}
Reste l2mod4\displaystyle{{l}^{{2}}\text{mod}{4}}: 0,1,0,10,1,0,1
c=2d⇒l=2m+1\displaystyle{{c}={2}{d}\Rightarrow{l}={2}{m}+{1}} ungerade
c(5c±4)=(l+1)⋅(l−1)\displaystyle{{c}{\left({5}{c}\pm{4}\right)}={\left({l}+{1}\right)}\cdot{\left({l}-{1}\right)}} ⇒2d(10d±4)=2m(2m+2)\displaystyle{\Rightarrow{2}{d}{\left({10}{d}\pm{4}\right)}={2}{m}{\left({2}{m}+{2}\right)}} ⇒4d(5d±2)=4m(m+1)\displaystyle{\Rightarrow{4}{d}{\left({5}{d}\pm{2}\right)}={4}{m}{\left({m}+{1}\right)}}
⇒d(5d±2)=m(m+1)\displaystyle{\Rightarrow{d}{\left({5}{d}\pm{2}\right)}={m}{\left({m}+{1}\right)}} ⇒m,d\displaystyle{\Rightarrow{m},{d}} sind gerade m=2n,d=2e\displaystyle{{m}={2}{n},{d}={2}{e}}
2e(10e±2)=2n(2n+1)\displaystyle{{2}{e}{\left({10}{e}\pm{2}\right)}={2}{n}{\left({2}{n}+{1}\right)}} ⇒2e(5e±1)=n(2n+1)\displaystyle{\Rightarrow{2}{e}{\left({5}{e}\pm{1}\right)}={n}{\left({2}{n}+{1}\right)}} linke seite gerade ⇒n\displaystyle{\Rightarrow{n}} ist auch gerade n=2p\displaystyle{{n}={2}{p}}
2e(5e±1)=2p(4p+1)\displaystyle{{2}{e}{\left({5}{e}\pm{1}\right)}={2}{p}{\left({4}{p}+{1}\right)}} ⇒e(5e±1)=p(4p+1)\displaystyle{\Rightarrow{e}{\left({5}{e}\pm{1}\right)}={p}{\left({4}{p}+{1}\right)}}
5e2±e=4p2+p\displaystyle{{5}{e}^{{2}}\pm{e}={4}{p}^{{2}}+{p}}
mod4:4p2+p≡p=e2±e\displaystyle{\text{mod}{4}:{4}{p}^{{2}}+{p}\equiv{p}\quad={e}^{{2}}\pm{e}}
5e2±e\displaystyle{{5}{e}^{{2}}\pm{e}} ist gerade!, 4p2+p\displaystyle{{4}{p}^{{2}}+{p}} ist auch gerade, damit ist p\displaystyle{{p}} gerade, also p=2p1(l=16p1+1;b=8e)\displaystyle{{p}={2}{p}_{{1}}{\left({l}={16}{p}_{{1}}+{1};{b}={8}{e}\right)}}
5e2±e=4⋅4⋅p12+2⋅p1=2⋅(8p12+p1)\displaystyle{{5}{e}^{{2}}\pm{e}={4}\cdot{4}\cdot{{p}_{{1}}^{{2}}}+{2}\cdot{p}_{{1}}={2}\cdot{\left({8}{{p}_{{1}}^{{2}}}+{p}_{{1}}\right)}}
e\displaystyle{{e}} ist auch gerade, sonst könnte ich links keine 2\displaystyle{{2}} ausklammern: e=2e1(l=16p1+1;b=16e1)\displaystyle{{e}={2}{e}_{{1}}{\left({l}={16}{p}_{{1}}+{1};{b}={16}{e}_{{1}}\right)}}.
20e12±2e1=2⋅(8p12+p1)⇒10e12±e1=8p12+p1\displaystyle{{20}{{e}_{{1}}^{{2}}}\pm{2}{e}_{{1}}={2}\cdot{\left({8}{{p}_{{1}}^{{2}}}+{p}_{{1}}\right)}\Rightarrow{10}{{e}_{{1}}^{{2}}}\pm{e}_{{1}}={8}{{p}_{{1}}^{{2}}}+{p}_{{1}}}
p1=−116±1(16)2+108e12±18e1\displaystyle{{p}_{{1}}=-\frac{{1}}{{16}}\pm\sqrt{{\frac{{1}}{{\left({16}\right)}^{{2}}}+\frac{{10}}{{8}}{{e}_{{1}}^{{2}}}\pm\frac{{1}}{{8}}{e}_{{1}}}}}
 
 

Es gibt keinen Königsweg zur Mathematik.

Euklid

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