Fibonacci Golden nuggets (P137)
A F ( x ) = x F 1 + x 2 F 2 + x 3 F 3 + … \displaystyle{{A}_{{F}}{\left({x}\right)}={x}{F}_{{1}}+{x}^{{2}}{F}_{{2}}+{x}^{{3}}{F}_{{3}}+\ldots} A F ( x ) = x F 1 + x 2 F 2 + x 3 F 3 + … F n + 1 = F n − 1 + F n \displaystyle{{F}_{{{n}+{1}}}={F}_{{{n}-{1}}}+{F}_{{n}}} F n + 1 = F n − 1 + F n ;
F 1 = F 2 = 1 \displaystyle{{F}_{{1}}={F}_{{2}}={1}} F 1 = F 2 = 1 A F ( x ) = x F 1 + x 2 F 2 + x 3 F 3 + … \displaystyle{{A}_{{F}}{\left({x}\right)}={x}{F}_{{1}}+{x}^{{2}}{F}_{{2}}+{x}^{{3}}{F}_{{3}}+\ldots} A F ( x ) = x F 1 + x 2 F 2 + x 3 F 3 + … = A F ( x ) = x F 1 + x 2 F 2 + x 3 ( F 1 + F 2 ) + x 4 ( F 1 + 2 F 2 ) + … \displaystyle{={A}_{{F}}{\left({x}\right)}={x}{F}_{{1}}+{x}^{{2}}{F}_{{2}}+{x}^{{3}}{\left({F}_{{1}}+{F}_{{2}}\right)}+{x}^{{4}}{\left({F}_{{1}}+{2}{F}_{{2}}\right)}+\ldots} = A F ( x ) = x F 1 + x 2 F 2 + x 3 ( F 1 + F 2 ) + x 4 ( F 1 + 2 F 2 ) + … F 5 = 2 F 1 + 3 F 2 \displaystyle{{F}_{{5}}={2}{F}_{{1}}+{3}{F}_{{2}}} F 5 = 2 F 1 + 3 F 2 F 6 = 3 F 1 + 5 F 2 \displaystyle{{F}_{{6}}={3}{F}_{{1}}+{5}{F}_{{2}}} F 6 = 3 F 1 + 5 F 2 F 1 ( x + x 2 + x 3 + x 4 + 2 x 5 + 3 x 6 ) \displaystyle{{F}_{{1}}{\left({x}+{x}^{{2}}+{x}^{{3}}+{x}^{{4}}+{2}{x}^{{5}}+{3}{x}^{{6}}\right)}} F 1 ( x + x 2 + x 3 + x 4 + 2 x 5 + 3 x 6 ) ∑ k = 1 n F k = F n + 2 − 1 \displaystyle{{\sum_{{{k}={1}}}^{{n}}}{F}_{{k}}={F}_{{{n}+{2}}}-{1}} k = 1 ∑ n F k = F n + 2 − 1 φ = 5 + 1 2 \displaystyle{\phi=\frac{{\sqrt{{5}}+{1}}}{{2}}} φ = 2 5 + 1 ;
F n = 1 5 ( φ n − ψ n ) \displaystyle{\quad{F}_{{n}}=\frac{{1}}{{\sqrt{{5}}}}{\left(\phi^{{n}}-\psi^{{n}}\right)}} F n = 5 1 ( φ n − ψ n ) ;
ψ = 1 − φ \displaystyle{\quad\psi={1}-\phi} ψ = 1 − φ ;
ψ = − 1 φ \displaystyle{\quad\psi=-\frac{{1}}{\phi}} ψ = − φ 1 ;
φ − ψ = 5 \displaystyle{\quad\phi-\psi=\sqrt{{5}}} φ − ψ = 5 A F ( x ) = ∑ n = 1 ∞ x n F n = 1 5 ∑ n = 1 ∞ x n ( φ n − ψ n ) \displaystyle{{A}_{{F}}{\left({x}\right)}={\sum_{{{n}={1}}}^{\infty}}{x}^{{n}}{F}_{{n}}=\frac{{1}}{{\sqrt{{5}}}}{\sum_{{{n}={1}}}^{\infty}}{x}^{{n}}{\left(\phi^{{n}}-\psi^{{n}}\right)}} A F ( x ) = n = 1 ∑ ∞ x n F n = 5 1 n = 1 ∑ ∞ x n ( φ n − ψ n ) = 1 5 ∑ n = 1 ∞ x n ( φ n − ( − 1 ) n φ n ) \displaystyle{=\frac{{1}}{{\sqrt{{5}}}}{\sum_{{{n}={1}}}^{\infty}}{x}^{{n}}{\left(\phi^{{n}}-\frac{{\left(-{1}\right)}^{{n}}}{\phi^{{n}}}\right)}} = 5 1 n = 1 ∑ ∞ x n ( φ n − φ n ( − 1 ) n ) = 1 5 ( ∑ n = 1 ∞ x n φ n − ∑ n = 1 ∞ x n ψ n ) = 1 5 ( 1 1 − x ⋅ φ − 1 1 − x ⋅ ψ ) \displaystyle{=\frac{{1}}{{\sqrt{{5}}}}{\left({\sum_{{{n}={1}}}^{\infty}}{x}^{{n}}\phi^{{n}}-{\sum_{{{n}={1}}}^{\infty}}{x}^{{n}}\psi^{{n}}\right)}=\frac{{1}}{{\sqrt{{5}}}}{\left(\frac{{1}}{{{1}-{x}\cdot\phi}}-\frac{{1}}{{{1}-{x}\cdot\psi}}\right)}} = 5 1 ( n = 1 ∑ ∞ x n φ n − n = 1 ∑ ∞ x n ψ n ) = 5 1 ( 1 − x ⋅ φ 1 − 1 − x ⋅ ψ 1 ) = 1 5 1 − x ⋅ ψ − ( 1 − x ⋅ φ ) ( 1 − x ⋅ φ ) ⋅ ( 1 − x ⋅ ψ ) \displaystyle{=\frac{{1}}{{\sqrt{{5}}}}\frac{{{1}-{x}\cdot\psi-{\left({1}-{x}\cdot\phi\right)}}}{{{\left({1}-{x}\cdot\phi\right)}\cdot{\left({1}-{x}\cdot\psi\right)}}}} = 5 1 ( 1 − x ⋅ φ ) ⋅ ( 1 − x ⋅ ψ ) 1 − x ⋅ ψ − ( 1 − x ⋅ φ ) = 1 5 ⋅ x ( φ − ψ ) 1 − x φ − x ψ + x 2 φ ψ \displaystyle{=\frac{{1}}{{\sqrt{{5}}}}\cdot\frac{{{x}{\left(\phi-\psi\right)}}}{{{1}-{x}\phi-{x}\psi+{x}^{{2}}\phi\psi}}} = 5 1 ⋅ 1 − x φ − x ψ + x 2 φ ψ x ( φ − ψ ) = 1 5 ⋅ x ( φ − ψ ) 1 − x ( φ + ψ ) − x 2 \displaystyle{=\frac{{1}}{{\sqrt{{5}}}}\cdot\frac{{{x}{\left(\phi-\psi\right)}}}{{{1}-{x}{\left(\phi+\psi\right)}-{x}^{{2}}}}} = 5 1 ⋅ 1 − x ( φ + ψ ) − x 2 x ( φ − ψ ) = 1 5 x ⋅ 5 1 − x − x 2 \displaystyle{=\frac{{1}}{{\sqrt{{5}}}}{x}\cdot\frac{{\sqrt{{5}}}}{{{1}-{x}-{x}^{{2}}}}} = 5 1 x ⋅ 1 − x − x 2 5 = x 1 − x − x 2 \displaystyle{=\frac{{x}}{{{1}-{x}-{x}^{{2}}}}} = 1 − x − x 2 x Umstellen nach x x x
n = x 1 − x − x 2 \displaystyle{{n}=\frac{{x}}{{{1}-{x}-{x}^{{2}}}}} n = 1 − x − x 2 x ⇒ n − n x − n x 2 = x \displaystyle{\Rightarrow{n}-{n}{x}-{n}{x}^{{2}}={x}} ⇒ n − n x − n x 2 = x ⇒ − n x 2 − ( n + 1 ) x + n = 0 \displaystyle{\Rightarrow-{n}{x}^{{2}}-{\left({n}+{1}\right)}{x}+{n}={0}} ⇒ − n x 2 − ( n + 1 ) x + n = 0 ⇒ x 2 + n + 1 n x − 1 = 0 \displaystyle{\Rightarrow{x}^{{2}}+\frac{{{n}+{1}}}{{n}}{x}-{1}={0}} ⇒ x 2 + n n + 1 x − 1 = 0 x 1 , 2 = − n + 1 2 n ± ( n + 1 ) 2 ( 2 n ) 2 + 1 \displaystyle{{x}_{{{1},{2}}}=-\frac{{{n}+{1}}}{{{2}{n}}}\pm\sqrt{{\frac{{\left({n}+{1}\right)}^{{2}}}{{\left({2}{n}\right)}^{{2}}}+{1}}}} x 1 , 2 = − 2 n n + 1 ± ( 2 n ) 2 ( n + 1 ) 2 + 1 x 1 , 2 = 1 2 n ( − ( n + 1 ) ± ( n + 1 ) 2 + ( 2 n ) 2 ) \displaystyle{{x}_{{{1},{2}}}=\frac{{1}}{{{2}{n}}}{\left(-{\left({n}+{1}\right)}\pm\sqrt{{{\left({n}+{1}\right)}^{{2}}+{\left({2}{n}\right)}^{{2}}}}\right)}} x 1 , 2 = 2 n 1 ( − ( n + 1 ) ± ( n + 1 ) 2 + ( 2 n ) 2 ) x 1 , 2 = 1 2 n ( − ( n + 1 ) ± ( n + 1 ) 2 + ( 2 n ) 2 ) \displaystyle{{x}_{{{1},{2}}}=\frac{{1}}{{{2}{n}}}{\left(-{\left({n}+{1}\right)}\pm\sqrt{{{\left({n}+{1}\right)}^{{2}}+{\left({2}{n}\right)}^{{2}}}}\right)}} x 1 , 2 = 2 n 1 ( − ( n + 1 ) ± ( n + 1 ) 2 + ( 2 n ) 2 ) ( n + 1 ) 2 + ( 2 n ) 2 = n 2 + 2 n + 1 + 4 n 2 = 5 n 2 + 2 n + 1 \displaystyle{{\left({n}+{1}\right)}^{{2}}+{\left({2}{n}\right)}^{{2}}={n}^{{2}}+{2}{n}+{1}+{4}{n}^{{2}}={5}{n}^{{2}}+{2}{n}+{1}} ( n + 1 ) 2 + ( 2 n ) 2 = n 2 + 2 n + 1 + 4 n 2 = 5 n 2 + 2 n + 1 soll
Quadratzahl sein
( 5 n + a ) ( n + b ) \displaystyle{{\left({5}{n}+{a}\right)}{\left({n}+{b}\right)}} ( 5 n + a ) ( n + b ) a b = 1 ; 5 b + a = 2 \displaystyle{{a}{b}={1};{5}{b}+{a}={2}} a b = 1 ; 5 b + a = 2 Rekursion
q 1 = 2 q 2 = 15 \displaystyle{{q}_{{1}}={2}\quad{q}_{{2}}={15}} q 1 = 2 q 2 = 1 5 q n + 2 = a q n + b q n + 1 + c \displaystyle{\quad{q}_{{{n}+{2}}}={a}{q}_{{n}}+{b}{q}_{{{n}+{1}}}+{c}} q n + 2 = a q n + b q n + 1 + c 104 = 2 a + 15 b + c \displaystyle{{104}={2}{a}+{15}{b}+{c}} 1 0 4 = 2 a + 1 5 b + c 714 = 15 a + 104 b + c \displaystyle{{714}={15}{a}+{104}{b}+{c}} 7 1 4 = 1 5 a + 1 0 4 b + c 4895 = 104 a + 714 b + c \displaystyle{{4895}={104}{a}+{714}{b}+{c}} 4 8 9 5 = 1 0 4 a + 7 1 4 b + c Lösung:
q n + 2 = − q n + 7 q n + 1 + 1 \displaystyle{{q}_{{{n}+{2}}}=-{q}_{{n}}+{7}{q}_{{{n}+{1}}}+{1}} q n + 2 = − q n + 7 q n + 1 + 1 Es ist unmöglich, die Schönheiten der Naturgesetze angemessen zu vermitteln, wenn jemand die Mathematik nicht versteht. Ich bedaure das, aber es ist wohl so.
Richard Feynman
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