Optimale Steuerung

Die Theorie der optimalen Steuerungen ist eng verwandt mit der Variationsrechnung und der Optimierung. Eine optimale Steuerung uu ist eine Funktion, welche eine gegebene Zielfunktion unter einer Differentialgleichungs-Nebenbedingungen und eventuell noch weiteren Restriktionen minimiert oder maximiert.
Zum Beispiel könnte ein Autofahrer versuchen, ein Ziel in möglichst geringer Zeit zu erreichen. Wann schaltet der Autofahrer am besten? Möglicherweise müssen gewisse Nebenbedingungen, z.B. Geschwindigkeitsbegrenzungen eingehalten werden. Ein anderer Autofahrer versucht dagegen vielleicht den Benzinverbrauch zu minimieren, d.h. er wählt eine andere Zielfunktion.

Das Problem der optimalen Steuerung

Es gibt mehrere mathematische Formulierungen der Aufgabenstellung, wobei wir hier eine möglichst allgemeine Form angeben.
Seien Ca:Rn→R,Cb:Rn→R,f:[a,b]×Rn×Rm→R,g:[a,b]×Rn→R\mathcal{C}_a:\R^{n}\rightarrow \R, \mathcal{C}_b:\R^{n}\rightarrow \R, f:[a,b]\times\R^{n}\times\R^{m} \rightarrow \R, g:[a,b]\times\R^{n} \rightarrow \R und U⊂RmU\subset\R^{m}. Gesucht ist ein Zustand x:R→Rnx:\R \rightarrow \R^{n} sowie eine Steuerung u:R→Rmu:\R \rightarrow \R^{m}, sodass gilt:
Ca(x(a))+Cb(x(b))+∫abg(t,x(t))dt→min⁡C_a(x(a))+C_b(x(b))+\int\limits_{a}^{b}g(t,x(t))dt \rightarrow \min
unter den Nebenbedingungen:
  1. x˙(t)=f(t,x(t),u(t)), x(a)=xa\dot{x}(t)=f(t, x(t),u(t)),~x(a)=x_a
  2. u(t)∈Uu(t) \in U für t∈[a,b]t \in [a,b]
Ein uu, das diese Gleichung erfüllt, wird als optimale Steuerung bezeichnet.
Häufig treten zusätzlich noch sogenannte Zustandsbeschränkungen auf, d.h. der Zustand zu einem bestimmten Zeitpunkt ist zusätzlich gewissen Restriktionen unterworfen.
Von Interesse sind in erster Linie die folgenden Fragestellungen:
  1. Existieren Lösungen und wie kann man sie berechnen?
  2. Welche notwendigen Bedingungen gibt es? Hierbei ist vor allem das Maximumprinzip von Pontrjagin von Bedeutung.
  3. Wann sind die notwendigen Bedingungen sogar hinreichend?
 
 

In der Mathematik gibt es keine Autoritäten. Das einzige Argument für die Wahrheit ist der Beweis.

K. Urbanik

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