Dosen mit maximalem Volumen

Problem

Welche Maße muss eine zylindrische Dose haben, damit bei vorgegebener Oberfläche, das Volumen maximal wird.
Diese Aufgabe wird auch in der Variante, dass das Volumen gegeben ist und die Oberfläche minimal werden soll, formuliert. Als Motivation dieser Aufgabenstellung dient, den Blechverbrauch bei der Dosenherstellung zu minimieren.

Lösung

Die Dose wird als gerader Kreiszylinder angenommen. Seien rr der Radius des Kreises und hh die Höhe des Zylinders. Dann gilt für das Volumen:
V=πr2h→max⁡V=\pi r^2h \rightarrow\max (1)
Für die feste vorgegebene Oberfläche gilt:
A=2πrh+2πr2A=2\pi r h+ 2\pi r^2,(2)
nach hh umgestellt:
h=A−2πr22πrh=\dfrac{A-2\pi r^2}{2\pi r}.(3)
Setzen wir dies in (1) ein, erhalten wir
V(r)=πr2 A−2πr22πr=12Ar−πr3V(r)=\pi r^2\, \dfrac{A-2\pi r^2}{2\pi r}=\dfrac 1 2 Ar-\pi r^3.(4)
Die Ableitung ergibt sich mit
V ′(r)=12A−3πr2V\, '(r)=\dfrac 1 2 A-3\pi r^2.(5)
Und als Lösung von V′(r)=0V'(r)=0 erhalten wir
r=A6πr=\sqrt{\dfrac A {6\pi}}.(6)
Die mögliche negative Lösung interessiert uns nicht, da der Radius positiv sein muss.
Es ist
V ′′(r)=−6πrV\, ''(r)=-6\pi r,(7)
woraus sich wegen r>0r>0 sofort ergibt, dass es sich bei (6) um ein Maximum handeln muss.
Aus (3) bestimmen wir
h=2A3πh=\sqrt{\dfrac{2A}{3\pi}}.(8)
Damit ist die Aufgabe gelöst. Um das Ergebnis deuten zu können, berechnen wir noch
hr=2\dfrac h r =2,(9)
womit wir wissen, dass die gesuchte Dose genauso lang (d=2rd=2r) wie hoch sein muss. Spätestens hier fliegt uns das Blech weg, denn man stelle sich eine Bierdose vor, die genauso hoch wie breit ist.
 
 

Es ist unmöglich, die Schönheiten der Naturgesetze angemessen zu vermitteln, wenn jemand die Mathematik nicht versteht. Ich bedaure das, aber es ist wohl so.

Richard Feynman

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