Parallelenbüschel und Geradenbüschel
Satz DY88
Beweis
Wegen
Satz UK27 bleibt nur noch die
Transitivität zu zeigen. Seien nun
g,
h und
k drei
Geraden. Angenommen zwei von ihnen sind gleich, dann gilt die
Transitivität trivial. Seien die drei
Geraden nun paarweise verschieden und es gelte
g∥h und
h∥k. Angenommen
g∦k, dann gibt es nach
Satz UU90 genau einen
Schnittpunkt P=g∩k. Dieser liegt nach Definition der
Parallelität nicht auf
h. Es gibt aber zwei parallele
Geraden zu
h, die durch
P gehen, nämlich
g und
k, was im Widerspruch zum
Parallelenaxiom ist.
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Die
Äquivalenzklassen bezüglich der
Parallelität nennen wir
Parallelenbüschel oder
Richtung. Das
Parallelenbüschel zu einer
Geraden g bezeichnen wir mit
[g] und es gilt:
[g]={h∈G∣h∥g}
In Analogie definieren wir ein
Geradenbüschel [P] zu einem
Punkt P als die
Menge aller geraden, die
P enthält:
[P]={h∈G∣P∈h}
Beispiele
Abb. BT41: a)
Parallelenbüschel zur
Gerade g, b)
Geradenbüschel zum
Punkt P
Abb. BT41 zeigt Beispiele für Parallelen- und Geradenbüschel in unserer Anschauungsebene.
In der
minimalen affinen Ebene aus
Beispiel UI60 gibt es zwei
Parallelenbüschel, eins mit den
gk-Geraden und eins mit den
hk-Geraden. In Abb. QN68 sind diese durch unterschiedliche Linienstile hervorgehoben.
Satz RD73
In einer
affinen Ebene seien
A,
B und
C drei
Punkte in
allgemeiner Lage. Dann sind die drei
Parallelenbüschel [A⊻B],
[A⊻C] und
[B⊻C] paarweise verschieden.
Beweis
Angenommen
[A⊻B]∥[B⊻C] und damit
A⊻B∥B⊻C. Nun gilt
B∈A⊻B und
B∈B⊻C, also
B∈(A⊻B)∩(B⊻C), was aber mit der Definition der
Parallelität bedeutet, dass
A⊻B=B⊻C gilt. Nach
Satz WI24 ist damit
C∈A⊻B im Widerspruch zur Annahme, dass die drei
Punkte in
allgemeiner Lage sind.
□
Satz KS67
Abb. DG28: Veranschaulichung der
Abbildung χ aus
Satz KS67
Beweis
Es gelte
χ(k)=χ(l) für
k,l∈[g], also
k∩g=l∩g=P. Nach dem
Parallelenaxiom ist die Parallele zu
g durch
P eindeutig.
P liegt auf dieser Parallele und auf
k und
l, daher gilt
k=l, womit gezeigt ist, dass
χ injektiv ist. Sei
P∈h ein
Punkt der
Geraden h. Es gibt nach
Parallelenaxiom eine
Gerade k mit
k∥g und
P∈k, also gilt
χ(k)=k∩g=P. Für jeden
Punkt P∈h gibt es ein
Urbild, also ist
χ ist
surjektiv.
Abb. QB07: Zum Beweis von Satz KS67
Zwei identische
Geraden g und
h können sicher
bijektiv aufeinander abgebildet werden. Sei nun
g=/h. Dann gibt es nach
Satz NF12 einen
Punkt A∈g mit
A∈/h und einen
Punkt B mit
B∈h und
B∈/g (vgl. Abb. QB07). Diese
Punkte sind offensichtlich verschieden und ihre
Verbindungsgerade k=A⊻B ist wohldefiniert. Außerdem ist
g∦k wegen
A=g∩k und
h∦k wegen
B=h∩k. Damit gibt es nach dem oben Bewiesenen
Bijektionen χg:[k]→g und
χh:[k]→h. Die
Abbildung χh∘χg−1:g→h ist nach
Satz 15XJ eine
Bijektion, die
g und
h aufeinander abbildet.
□
Wie ist es möglich, daß die Mathematik, letztlich doch ein Produkt menschlichen Denkens unabhängig von der Erfahrung, den wirklichen Gegebenheiten so wunderbar entspricht?
Albert Einstein
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