Transitive Hülle

Wir definieren die transitive Hülle einer Relation

R

als

R^+=\bigcup\limits_{i=1}^\infty R^i

Man überzeugt sich leicht, dass es sich hierbei um einen Hüllenoperator handelt. Die Bezeichnung transitive Hülle rechtfertigt der folgende Satz.

Satz 9AQF

(i) Wir zeigen

R^+\circ R^+\subseteq R^+

R^+\circ R^+=\left(\bigcup\limits_{i=1}^\infty R^i\right)\circ\left(\bigcup\limits_{j=1}^\infty R^j\right)

=\bigcup\limits_{i=1; j=1}^\infty R_i\circ R_j

\subseteq \bigcup\limits_{i=1}^\infty R_i=R^+

(ii) Sei

T

eine transitive Relation mit

R\subseteq T

. Nach (i) ist

R^+

\bigcap\limits_{R\subseteq T} T\subseteq R^+

. Es ist

R\subseteq T

, und nach Satz 9AQD

R^i\subseteq T^i\subseteq T

, da

T

R^+=\bigcup\limits_{i=1}^\infty R^i\subseteq \bigcup\limits_{i=1}^\infty T=T

, und das

T

beliebig gewählt war:

R^+\subseteq \bigcap\limits_{R\subseteq T} T

\qed

Wir setzen

R^0=\I

und erweitern die transitive Hülle

R^+

zur reflexiv transitiven Hülle

R^*=R^0\cup R^+

=\bigcup\limits_{i=0}^\infty R^i

Wegen

I=R^0\subseteq R^*

ist

R^*

reflexiv und wegen

R^*\circ R^*=(R^0\cup R^+)\circ (R^0\cup R^+)

=(\I\cup R^+)\circ(\I\cup R^+)

=\I^2\cup \I\circ R^+\cup R^+\circ \I \cup R^+\circ R^+

\subseteq R^0\cup R^+=R^*

ist

R^*

Manche Menschen haben einen Gesichtskreis vom Radius Null und nennen ihn ihren Standpunkt.

David Hilbert

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