Mengenoperationen und Relationsalgebra

Im folgenden seien PP, QQ, RR und SS Relationen.

Satz 9AQD

Aus P⊆QP\subseteq Q und R⊆SR\subseteq S folgt P∘R⊆Q∘SP\circ R\subseteq Q\circ S.

Beweis

(a,b)∈P∘R  ⟹  ∃c:(a,c)∈P∧(c,b)∈R(a,b)\in P\circ R \implies \exists c: (a,c)\in P\and (c,b)\in R   ⟹  ∃c:(a,c)∈Q∧(c,b)∈S\implies\exists c: (a,c)\in Q\and (c,b)\in S   ⟹  (a,b)∈Q∘S\implies (a,b)\in Q\circ S □\qed

Satz 9AQE

Sei II eine Indexmenge und RiR_i eine Relation für i∈Ii\in I, dann gilt
  1. (⋃i∈IRi)T=⋃i∈IRiT\left(\bigcup\limits_{i\in I} R_i\right)^T=\bigcup\limits_{i\in I} R_i^T, speziell (R∪S)T=RT∪ST(R\cup S)^T=R^T\cup S^T
  2. (⋂i∈IRi)T=⋂i∈IRiT\left(\bigcap\limits_{i\in I} R_i\right)^T=\bigcap\limits_{i\in I} R_i^T, speziell (R∩S)T=RT∩ST(R\cap S)^T=R^T\cap S^T
  3. (⋃i∈IRi)∘S=⋃i∈I(Ri∘S)\left(\bigcup\limits_{i\in I} R_i\right)\circ S= \bigcup\limits_{i\in I} (R_i\circ S) und S∘(⋃i∈IRi)=⋃i∈I(S∘Ri)S\circ \left(\bigcup\limits_{i\in I} R_i\right)= \bigcup\limits_{i\in I} (S\circ R_i)
  4. (⋂i∈IRi)∘S⊆⋂i∈I(Ri∘S)\left(\bigcap\limits_{i\in I} R_i\right)\circ S\subseteq \bigcap\limits_{i\in I} (R_i\circ S) und S∘(⋂i∈IRi)⊆⋂i∈I(S∘Ri)S\circ \left(\bigcap\limits_{i\in I} R_i\right)\subseteq \bigcap\limits_{i\in I} (S\circ R_i)
 
 

Beweis

(i) (a,b)∈(⋃i∈IRi)T(a,b)\in \left(\bigcup\limits_{i\in I} R_i\right)^T   ⟺  (b,a)∈⋃i∈IRi\iff (b,a)\in \bigcup\limits_{i\in I} R_i   ⟺  ∃i∈I:(b,a)∈Ri\iff \exists i\in I: (b,a)\in R_i   ⟺  ∃i∈I:(a,b)∈RiT\iff \exists i\in I: (a,b)\in R_i^T   ⟺  (a,b)∈⋃i∈IRiT\iff (a,b)\in \bigcup\limits_{i\in I} R_i^T
(ii) (a,b)∈(⋂i∈IRi)T(a,b)\in \left(\bigcap\limits_{i\in I} R_i\right)^T   ⟺  (b,a)∈⋂i∈IRi\iff (b,a)\in \bigcap\limits_{i\in I} R_i   ⟺  ∀i∈I:(b,a)∈Ri\iff \forall i\in I: (b,a)\in R_i   ⟺  ∀i∈I:(a,b)∈RiT\iff \forall i\in I: (a,b)\in R_i^T   ⟺  (a,b)∈⋂i∈IRiT\iff (a,b)\in \bigcap\limits_{i\in I} R_i^T
(iii) (a,b)∈(⋃i∈IRi)∘S(a,b)\in \left(\bigcup\limits_{i\in I} R_i\right)\circ S   ⟺  ∃c:(a,c)∈⋃i∈IRi∧(c,b)∈S\iff \exist c: (a,c)\in \bigcup\limits_{i\in I} R_i\and (c,b)\in S   ⟺  ∃c:∃i∈I:(a,c)∈Ri∧(c,b)∈S\iff\exists c:\exists i\in I: (a,c)\in R_i\and (c,b)\in S   ⟺  ∃i∈I:∃c:(a,c)∈Ri∧(c,b)∈S\iff\exists i\in I:\exists c: (a,c)\in R_i\and (c,b)\in S   ⟺  ∃i∈I:(a,b)∈Ri∘S\iff\exists i\in I: (a,b)\in R_i\circ S   ⟺  (a,b)∈⋃i∈I(Ri∘S)\iff (a,b)\in \bigcup\limits_{i\in I} (R_i\circ S) Die zweite Behauptung folgt aus der Kommutativität von ∧\and. (iv) (a,b)∈(⋂i∈IRi)∘S(a,b)\in \left(\bigcap\limits_{i\in I} R_i\right)\circ S   ⟺  ∃c:(a,c)∈⋂i∈IRi∧(c,b)∈S\iff \exist c: (a,c)\in \bigcap\limits_{i\in I} R_i\and (c,b)\in S   ⟺  ∃c:∀i∈I:(a,c)∈Ri∧(c,b)∈S\iff\exists c:\forall i\in I: (a,c)\in R_i\and (c,b)\in S   ⟹  ∀i∈I:∃c:(a,c)∈Ri∧(c,b)∈S\implies\forall i\in I:\exists c: (a,c)\in R_i\and (c,b)\in S   ⟺  ∀i∈I:(a,b)∈Ri∘S\iff\forall i\in I: (a,b)\in R_i\circ S   ⟺  (a,b)∈⋂i∈I(Ri∘S)\iff (a,b)\in \bigcap\limits_{i\in I} (R_i\circ S) Die zweite Behauptung folgt wieder aus der Kommutativität von ∧\and.

Jede mathematische Formel in einem Buch halbiert die Verkaufszahl dieses Buches.

Stephen Hawking

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite ist urheberrechtlich geschützt und darf ohne Genehmigung des Autors nicht weiterverwendet werden.
Anbieterkеnnzeichnung: Mathеpеdιa von Тhοmas Stеιnfеld  • Dοrfplatz 25  •  17237 Blankеnsее  • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2)  •  Email: cο@maτhepedιa.dе
Datenschutzerklärung

 

Relationen