Beispiele

Beispiel 167W

In Beispiel 167L haben wir die Ähnlichkeitsdifferentialgleichung y′=2xyx2−y2y'=\dfrac{2xy}{x^2-y^2} untersucht, was ziemlich aufwändig war. Mit der Technik des integrierenden Faktors können wir uns die Arbeit erheblich erleichtern.
In der Form 2xy+(y2−x2)y′=02xy+(y^2-x^2)y'=0 überführt, bilden wir ∂p∂y=2x\dfrac {\partial p}{\partial y}=2x und ∂q∂x=−2x\dfrac {\partial q}{\partial x}=-2x. Damit handelt es sich nicht um eine exakte Differentialgleichung. Es ist Δ=4x\Delta =4x und wir sehen, dass wir über g(y)=−4x2xy=2yg(y)=-\dfrac {4x} {2xy}=\dfrac 2 y den integrierenden Faktor μ(y)=e⁡∫2y d⁡y\my(y)=\e^{\int\limits \frac 2 y \, \d y} =e⁡2ln⁡y=\e^{2\ln y} =1y2=\dfrac 1 {y^2} bestimmen können.
Damit erhalten wir die exakte Differentialgleichung 2xy+(1−x2y2)y′=0\dfrac {2x} y +\braceNT {1-\dfrac {x^2}{y^2}}y'=0.
∂F∂x=2xy\dfrac {\partial F} {\partial x}=\dfrac {2x} y   ⟹  F(x,y)=x2y+C(y)\implies F(x,y)=\dfrac{x^2} y+C(y)
∂F∂y=−x2y2+C′(y)\dfrac {\partial F} {\partial y} = -\dfrac{x^2} {y^2}+C'(y) =1−x2y2=1-\dfrac {x^2}{y^2}   ⟹  \implies C′(y)=1C'(y)=1   ⟹  \implies C(y)=yC(y)=y
Lösung: x2y+y=C\dfrac{x^2} y+y=C
 
 

Das ist ein Mittel, das Paradies nicht zu verfehlen: auf der einen Seite einen Mathematiker, auf der anderen einen Jesuiten; mit dieser Begleitung muß man seinen Weg machen, oder man macht ihn niemals.

Friedrich der Große

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