Zahlensysteme

Ein Zahlensystem wird zur Darstellung von Zahlen verwendet.

Eine Zahl wird dabei nach den Regeln des Zahlensystems als Folge von Ziffern dargestellt. Man unterscheidet im Wesentlichen zwischen Additionssystemen und Positionssystemen (Stellenwertsystemen).

In einem Additionssystem wird eine Zahl als Summe der Werte ihrer Ziffern dargestellt. Ein Beispiel sind die römischen Zahlen.

Ein weiteres Additionssystem, das Unärsystem wird gerne auf Bierdeckeln eingesetzt (die Zahl n dezimal wird durch n Striche dargestellt). Das Unärsystem braucht für die Darstellung großer Zahlen jedoch viel Platz.

In einem Positionssystem (Stellenwertsystem) impliziert die Stelle (Position) den Wert der jeweiligen Ziffer. Die 'niederwertigste' Position steht dabei im Allgemeinen rechts.

Das bekannteste und verbreitetste Zahlensystem ist das Dezimalsystem (oder 10er-System) mit Grundzahl 10, und den Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9.

Im 17. Jahrhundert führte der Mathematiker Gottfried Wilhelm Leibniz mit der Dyadik das Dualsystem (ein binäres Zahlensystem), also das Stellenwertsystem mit der Grundzahl 2 und den Ziffern 0 und 1, ein. Dieses wird vor allem in der Informationstechnik verwendet, da in diesen System viele Berechnungen einfacher auszuführen sind als in anderen Systemen.

Da große binäre Zahlen unübersichtlich lang sind, werden zur Darstellung oft Hexadezimalzahlen verwendet, die mit der Grundzahl 16 (und den Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E und F) arbeiten. Hexadezimale Zahlen und binäre Zahlen lassen sich leicht ineinander umwandeln, da 4 Stellen einer binären Zahl gerade einer Stelle einer hexadezimalen Zahl entsprechen. In der Computertechnik werden das Binärsystem, das Oktalsystem und das Hexadezimalsystem verwendet.

Das Duodezimalsystem hat als Basis die 12. Wir finden es in der Rechnung mit Dutzend und Gros und im angelsächsischen Maßsystem (1 Shilling = 12 Pence) (siehe auch Alte Maße und Gewichte). Auch die Stundenzählung hat in diesem System ihren Ursprung.

In vielen polytheistischen Religionen gab es 12 Hauptgötter, die sich z. B. im alten Ägypten in 3 oberste Götter und 3*3 zugeordnete Götter aufteilten. (Die 3 galt als perfekte Zahl; siehe auch Dreifaltigkeit).

Die Babylonier benutzten ein Zahlensystem mit einer Basis von 60 (Sexagesimalsystem; siehe auch Geschichte von Maßen und Gewichten).

Bei einigen Naturvölkern sind auch noch Zahlensysteme zu anderen Basen gefunden worden. Vergleichsweise weit verbreitet ist das System zur Basis 20. Bei diesen Völkern werden in der Regel zum Zählen neben den Fingern auch noch die Füße verwendet. Das analog zu erwartende Zahlensystem zur Basis fünf bei Völkern, die nur eine Hand zum Zählen benutzen, wurde aber bisher nirgendwo entdeckt. In Neuseeland war hingegen das System zur Basis 11 üblich und einige Völker benutzen das System zur Basis 18.

Mit der Beschränkung des niedrigsten Exponenten auf 0 kann man nur Ganze Zahlen darstellen. Lässt man auch negative Exponenten zu, kann man auch rationale Zahlen in einem Stellenwertsystem schreiben, wobei der Übergang vom nichtnegativen zum negativen Exponenten durch ein Trennzeichen markiert wird, beispielsweise ein Komma:

1234,56 = 1·10$^{3}$ + 2·10$^{2}$ + 3·10$^{1}$ + 4·10$^{0}$ + 5·10$^{-1}$ + 6·10$^{-2}$

Die Ziffern einer rationalen Zahl $p$/$q$ erhält man durch das Verfahren der schriftlichen Division. Im 10er-System spricht man auch von Dezimalbruch-Entwicklung. Hat $q$ zur Basis $b$ teilerfremde Primfaktoren, bricht die schriftliche Division nicht ab, sondern liefert eine sich wiederholende Folge von Ziffern. Diese wird Periode genannt und durch Überstreichen gekennzeichnet, z.B.

$\dfrac{5}{6} = 0{,}83333\ldots = 0{,}8\overline{3}$.

Die Basis $b$ muss nicht notwendigerweise eine natürliche Zahl sein. Es wurde nachgewiesen, dass sämtliche komplexen Zahlen mit Betrag größer 1 als Basis eines Stellenwertsystems verwendet werden können. Ebenso sind Zahlensysteme mit gemischten Basen möglich. Beispiele hierfür findet man in Knuth, The Art of Computer Programming.

Eine andere Darstellung für rationale und irrationale Zahlen ist der Kettenbruch, welcher bessere Approximationen liefert als die Stellenwertsysteme.