Division

Die Division ist eine der vier Grundrechenarten der Arithmetik. Sie ist die Umkehrung der Multiplikation. Die Division wird umgangssprachlich auch als Teilen bezeichnet.

Division in der Arithmetik

Im Bereich der rationalen, reellen und komplexen Zahlen gilt:
Für jede Zahl aa und von Null verschiedene Zahl bb gibt es genau eine Zahl xx, die die Gleichung
bb · xx = aa (lies: bb mal xx gleich aa)
erfüllt.
Die Bestimmung von xx heißt Division. xx lässt sich bestimmen, indem man aa durch bb dividiert ("teilt"):
xx = aa : bb
Die auftretenden Terme heißen wie folgt:
  • Die Zahl, die geteilt wird (aa), heißt Dividend.
  • Die Zahl, durch die geteilt wird (bb),heißt Divisor.
  • Das Ergebnis der Division heißt Quotient.
Der Divisor muss unbedingt ungleich 00 sein, da der Quotient aa / bb als Lösung der Gleichung b⋅x=ab · x = a definiert ist, und diese Gleichung für b=0 b = 0 entweder gar keine (für aa ungleich 00) oder mehr als eine Lösung hat (für aa gleich 00).
Für die Division gilt nicht das Assoziativgesetz.
Siehe auch: Kehrwert

Schreibweisen

Es gibt mehrere Schreibweisen für die Division: a:ba : b, a÷ba ÷ b, a/ba / b und ab\dfrac{a}{b}.
Der Doppelpunkt als Zeichen für die Division ist erst seit Leibniz (1646 - 1716) allgemein üblich, wenngleich er auch in älteren Schriften bekannt ist. Die letzte erwähnte Schreibweise heißt auch Bruchdarstellung oder kurz (echter) Bruch.

Division durch Null

Die Division durch Null ist nicht definiert. Ließe man nämlich die Division durch Null zu, so hätte dies ein interessantes mathematisches Paradox zur Folge:
Gäbe es zu einer gegebenen Zahl a≠0a \ne 0 eine Zahl x=a0x = \dfrac{a}{0},
so würde man durch beidseitige Multiplikation mit 0 die Aussage 0=a0 = a und somit einen Widerspruch zur Voraussetzung a≠0a \ne 0 erhalten.
Wäre die Division von Null durch Null definiert, gäbe es also eine Zahl x=00\displaystyle x = \frac{0}{0}, so würde die Multiplikation mit 0 zur Gleichung x⋅0=0x \cdot 0 = 0 führen, also zu einer Gleichung, die für jedes xx richtig ist. Es gibt daher keine sinnvolle eindeutige Definition für 00\dfrac{0}{0}.
Wenn man von diesem Paradoxon absieht, gibt es für Division durch Null eine "Lösung":
lim⁡x→0ax=±∞\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{a}{x}=\pm\infty. Bei Annäherung aus dem positiven Zahlenbereich ist es ∞\infty, bzw. −∞-\infty bei Annäherung aus dem negativen Bereich.
 
 

Wie ist es möglich, daß die Mathematik, letztlich doch ein Produkt menschlichen Denkens unabhängig von der Erfahrung, den wirklichen Gegebenheiten so wunderbar entspricht?

Albert Einstein

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