Untergruppen

Sei (G,∘)(G,\circ) eine Gruppe, H⊆GH\subseteq G eine nichtleere Teilmenge von GG. Wenn HH bezüglich ∘\circ eine Gruppe ist, so heißt (H,∘)(H,\circ) Untergruppe von (G,∘)(G,\circ).
Nicht jede Teilmenge muss bzgl. der Operation ∘\circ eine Gruppe sein. Man betrachte nur die natürlichen Zahlen N\dom N als Teilmenge von Z\dom Z, welche bezüglich der Addition keine Gruppe bilden.
 
 

Bemerkung 16IP

Wenn (H,∘)(H,\circ) Untergruppe zu (G,∘)(G,\circ) ist und ee das neutrale Element von (G,∘)(G,\circ), dann ist ee auch das neutrale Element von (H,∘)(H,\circ).
Wenn a′a' Inverses zu aa bezüglich (H,∘)(H,\circ), dann ist es auch Inverses zu aa bezüglich (G,∘)(G,\circ).
Damit stimmen das neutrale Element und die inversen Elemente einer Untergruppe mit denen der Gruppe überein.

Beispiele

(Z,+)(\dom Z, +) ist eine Untergruppe von (Q,+)(\dom Q,+), die ihrerseits eine Untergruppe von (R,+)(\dom R,+) ist.
(Zn,+mod   n)(\dom {Z_n}, +_{ \mod \space n}) ist für alle nn eine Untergruppe von (Z,+)(\dom Z, +).
Betrachte man alle durch 2 teilbaren Zahlen aus Z\dom {Z}, so bilden diese bzgl. der Addition ein Gruppe, sind also Untergruppe von (Z,+)(\dom Z, +). Analoges kann man für alle durch 3, 4 etc. teilbaren Zahlen feststellen.
Wenn Sym(F)\cal {Sym}(F) die Symmetriegruppe einer ebenen Figur ist, so bilden die Drehungen Rot(F)\cal {Rot}(F) eine Untergruppe zu dieser. Man überzeugt sich leicht, dass zwei Drehungen immer wieder eine Drehung ergeben und die Umkehrung einer Drehung wieder eine Drehung ist.
Die Spiegelungen bilden im Allgemeinen keine Untergruppe, da man sich schon an der Symmetriegruppe des Rechtecks klarmachen kann, dass die Hintereinanderausführung der Spiegelungen eine Drehung ergibt.
Auch erhalten wir die Symmetriegruppe des Rechtecks als Untergruppe der Symmetriegruppe des Quadrats.

Satz 5210A (Untergruppenkriterium)

Eine nichtleere Teilmenge H⊆GH\subseteq G ist genau dann Untergruppe von GG, wenn für zwei Elemente a,b∈Ha,b\in H gilt: a∘b−1∈Ha\circ b^{-1}\in H.

Beweis

Wenn HH Untergruppe von GG ist, ist die Behauptung trivial erfüllt. Bleibt die Rückrichtung zu zeigen.
Die Assoziativität gilt auf Grund der Assoziativität in GG. Es ist e∈He\in H, da mit a∈Ha\in H nach Voraussetzung auch e=a∘a−1∈He=a\circ a^{-1}\in H. Auf Grund von a−1=e∘a−1a^{-1}=e\circ a^{-1} ist mit aa also auch a−1a^{-1} in HH. Damit ist aber auch wegen a,b−1∈H  ⟹  a∘b∈Ha,b^{-1}\in H \implies a\circ b\in H der Abschluss gegenüber der Produktbildung gezeigt. □\qed

Satz 5210B (Durchschnittssatz)

Der Durchschnitt beliebiger Untergruppen ist eine Untergruppe.
Mathematisch formuliert: Sei G=(G,∘)\bm G=(G,\circ) eine Gruppe und (Hi,∘)i∈I(H_i,\circ)_{i\in I} eine beliebige Familie von Untergruppen.
Dann ist der Durchschnitt ⋂i∈IHi\bigcap\limits_{i\in I} H_i bezüglich ∘\circ eine Untergruppe.

Beweis

H:=⋂i∈IHi H:=\bigcap\limits_{i\in I} H_i
HH ist nicht leer, da e∈He\in H
HH ist bzgl. ∘\circ abgeschlossen. Für alle x,y∈Hx,y \in H gilt: x∘y∈Hx\circ y \in H (Denn ∀i∈I:x,y∈Hi⇒x∘y∈Hi\forall i\in I: x,y \in H_i \Rightarrow x\circ y \in H_i, also x∘y∈Hx\circ y \in H.)
Wenn x∈Hx\in H gilt x∈Hix\in H_i für alle i∈Ii\in I, damit gilt aber x−1∈Hix^{-1}\in H_i für alle ii, denn die HiH_i sind Untergruppen. Damit muss aber auch x−1∈Hx^{-1}\in H sein. □\qed

Nicht etwa, daß bei größerer Verbreitung des Einblickes in die Methode der Mathematik notwendigerweise viel mehr Kluges gesagt würde als heute, aber es würde sicher viel weniger Unkluges gesagt.

Karl Menger

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