Faktorgruppen

Normalteiler besitzen die schöne Eigenschaft, dass alle Nebenklassen bezüglich des Komplexproduktes wieder eine Gruppe bilden.

Satz 5213E (Faktorgruppen)

Sei HH eine Untergruppe der Gruppe GG. Dann ist HH ein Normalteiler genau dann, wenn das System aller Linksnebenklassen bzgl. des Komplexproduktes eine Gruppe bildet.
Diese Gruppe heißt Faktorgruppe von GG nach HH und wird mit G/HG/H bezeichnet.

Beweis

"  ⟹  \implies": Sei HH Normalteiler von GG, wir zeigen, dass dann die Nebenklassen eine Gruppe bilden.
Wenn aHaH und bHbH zwei Nebenklassen sind, so ist unter Benutzung der Normalteilereigenschaft: aHbH=aHHbaHbH=aHHb=aHb=abH=(a∘b)H =aHb=abH=(a\circ b)H. Damit operiert das Komplexprodukt auf der Menge der Linksnebenklassen.
Die Assoziativität ergibt sich den Eigenschaften des Komplexproduktes (Satz 5213A).
Das neutrale Element ist HH, wie man mit der Identität aHH=aHaHH=aH schnell nachrechnet.
Das inverse Element zu aHaH ist a−1Ha^{-1}H und es gilt aHa−1H=(a∘a−1)H=HaHa^{-1}H=(a\circ a^{-1})H=H
"⇐\Leftarrow": Sei H⊆GH\subseteq G eine Untergruppe und die Linksnebenklassen aHaH bilden eine Untergruppe. Man sieht sofort, dass HH das neutrale Element in der Faktorgruppe ist, denn aHH=aHaHH=aH; außerdem ist H=aH(aH)−1H=aH(aH)^{-1} ={a∘h1∣h1∈H}{(a∘h2)−1∣h2∈H}=\{a\circ h_1| h_1\in H\}\{(a\circ h_2)^{-1}| h_2\in H\} ={a∘h1∘(a∘h2)−1∣h1,h2∈H}=\{a\circ h_1\circ(a\circ h_2)^{\uminus 1}| h_1,h_2\in H\} ={a∘h1∘h2−1∘a−1∣h1,h2∈H}=\{a\circ h_1\circ {h_2}^{\uminus 1} \circ a^{-1} | h_1,h_2\in H\} ={a∘h∘a−1∣h∈H}=\{a\circ h \circ a^{-1} | h\in H\}.
Damit gilt für beliebige a∈Ga\in G und h∈Hh\in H: a∘h∘a−1∈Ha\circ h \circ a^{-1}\in H und wir können Satz 5212A anwenden, womit HH Normalteiler von GG ist. □\qed
Ein analoger Satz gilt natürlich auch für die Rechtsnebenklassen.
Den Satz von Lagrange können wir für Normalteiler HH auch als
ord⁡(G)=ord⁡(H)⋅ord⁡(G/H)\ord(G)=\ord(H)\cdot \ord(G/H)
schreiben.
 
 

Es gibt Dinge, die den meisten Menschen unglaublich erscheinen, die nicht Mathematik studiert haben.

Archimedes

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