Stetigkeit

Die Definition der Stetigkeit kann von reellen Funktionen auf Funktionen mehrerer Veränderlicher übertragen werden. Eine Funktion f:Rn→Rf:\Rn\to\R heißt an der Stelle x0x^0 stetig, wenn es zu jedem ϵ>0\epsilon>0 ein δ>0\delta>0 gibt, so dass für alle xx aus ∣∣x−x0∣∣<δ||x-x^0||<\delta auch ∣f(x)−f(x0)∣<ϵ|f(x)-f(x^0)|<\epsilon folgt.
In der Sprache der Umgebungen bedeutet dies, dass es zu jeder ϵ\epsilon-Umgebung von f(x0)f(x^0) eine δ\delta-Umgebung Uδ(x0)U_\delta(x^0) von x0x^0 gibt, so dass f(Uδ(x0))⊆Uϵ(f(x0))f(U_\delta(x^0))\subseteq U_\epsilon(f(x^0)).
Sei E⊆D(f)E\subseteq D(f), dann heißt ff auf EE stetig, wenn ff für alle x∈Ex\in E stetig ist.
Die Funktion ff ist auf EE gleichmäßig stetig, wenn es zu jedem ϵ>0\epsilon>0 ein δ>0\delta>0 gibt, so dass für alle x1x^1, x2∈Ex^2\in E mit ∣∣x1−x2∣∣<δ||x^1-x^2||<\delta gilt: ∣f(x1)−f(x2)∣<ϵ|f(x^1)-f(x^2)|<\epsilon.
Aus der gleichmäßigen Stetigkeit auf EE folgt stets die Stetigkeit.
Das Analogon von Satz 5225F gilt auch für Funktionen mehrerer Veränderlicher:

Satz 165R

Sei f:Rn→Rf:\Rn\to\R in einer Umgebung um x0x^0 definiert. Dann ist ff genau dann in x0x^0 stetig, wenn lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim_{x\to x^0} f(x)=f(x^0) ist.

Beispiele

Die Funktion f(x1,x2)=x12+x22f(x_1,x_2)=x_1^2+x_2^2 aus Beispiel 165O ist auf ganz R2\R^2 stetig.
Die Funktion f(x,y)=xyx2+y2f(x,y)=\dfrac{xy}{x^2+y^2} aus Beispiel 165Q ist an der Stelle (x10,x20)=(0,0)(x_1^0,x_2^0)=(0,0) nicht definiert. Setzen wir für f(0,0)=Cf(0,0)=C mit einer beliebigen Zahl CC, so kann die Funktion dort niemals stetig sein, da der Grenzwert lim⁡x→x0f(x)\lim_{x\to x^0} f(x) nicht existiert.
 
 

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Stephen Hawking

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