Punktfolgen

Eine Abbildung φ:N→Rn\phi: \N\to\Rn heißt eine Punktfolge. Man schreibt die Glieder der Punktfolge x1,x2,…,xk,…x^1,x^2,\dots,x^k,\dots mit hochgestellten Indizes und für die Folge φ\phi schreibt man dann (xk)(x^k). Das kk-te Folgenglied in Tupelschreibweise wird dann
xk=(x1k,x2k,…,xnk)x^k=(x_1^k,x_2^k,\dots,x_n^k)
geschrieben.
Eine Punktfolge (xk)(x^k) heißt beschränkt, wenn ihr Wertevorrat {xk∣k∈N}\{x^k| k\in\N\} beschränkt ist.
Ein g∈Rng\in\Rn heißt Grenzwert der Folge (xk)(x^k), wenn
lim⁡k→∞∣∣xk−g∣∣=0\lim_{k\to\infty} ||x^k-g||=0
gilt; d.h. der Abstand zwischen den Folgengliedern xkx^k und gg bildet eine Nullfolge. Die Folge heißt dann auch konvergent. Besitzt eine Punktfolge keinen (endlichen) Grenzwert so heißt sie divergent.
Konvergiert eine Folge xkx^k gegen einen Grenzwert gg (Schreibweise: xk→gx^k\to g) so liegen in jeder ϵ\epsilon-Umgebung von gg fast alle Folgenglieder und außerhalb nur endlich viele.

Satz 165M

Eine Punktfolge (xk)(x^k) des Rn\Rn konvergiert genau dann, wenn sie koordinatenweise konvergiert, also alle Folgen (xjk)(x_j^k) für j=1…nj=1\dots n konvergieren.

Bemerkung 165N

Der Satz 165M rechtfertigt, alle Ergebnisse der Konvergenz von Zahlenfolgen auf Punktfolgen des Rn\Rn zu übertragen.
Insbesondere gilt das Cauchysche Konvergenzkriterium. Damit ist der Rn\Rn ein vollständiger metrischer Raum.

Beispiel

Die Folge (x1k,x2k)=(1k,kk+1)(x_1^k,x_2^k)=\braceNT{\dfrac 1 k, \dfrac k {k+1}} konvergiert gegen (0,1)(0,1), denn lim⁡k→∞1k=0\lim_{k\to\infty} \dfrac 1 k=0 und lim⁡k→∞kk+1=1\lim_{k\to\infty} \dfrac k {k+1}=1.
Die Folge (x1k,x2k)=(1k,k)(x_1^k,x_2^k)=\braceNT{\dfrac 1 k, k } ist divergent, da (x2k)(x_2^k) nicht konvergiert.
 
 

Das entscheidende Kriterium ist Schönheit; für häßliche Mathematik ist auf dieser Welt kein beständiger Platz.

Godfrey Harold Hardy

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