Hauptsatz der Analysis

Der Hauptsatz der Analysis (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung) sagt aus, dass es sich bei der Ableitung und dem Integral um zueinander inverse Operationen für Funktionen handelt, so wie Addition und Subtraktion für Zahlen.

Satz 15VK (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung)

Sei ff eine auf dem Intervall II stetige Funktion und a∈Ia\in I ein beliebiger Punkt aus diesem Intervall. Die Funktion
F(x):=∫axf(t)d⁡tF(x):=\int\limits_a^xf(t)\d t
ist Stammfunktion von ff, d.h. es gilt
F ′(x)=f(x)F\, '(x)=f(x).

Beweis

Wir wählen ein x0∈Ix_0\in I und bilden den Differenzenquotienten der Funktion FF:
F(x)−F(x0)x−x0=1x−x0∫x0xf(t) d⁡t\dfrac {F(x)-F(x_0)}{x-x_0}=\dfrac 1 {x-x_0} \int\limits_{x_0}^xf(t)\, \d t (nach Satz 15VL)(1)
Nach dem Mittelwertsatz gibt es ein ξ∈[x,x0]\xi\in [x,x_0] mit
∫x0xf(t)d⁡t=(x−x0)f(ξ)\int\limits_{x_0}^xf(t)\d t=(x-x_0)f(\xi).(2)
Aus (1) und (2) ergibt sich:
F(x)−F(x0)x−x0=f(ξ)\dfrac {F(x)-F(x_0)}{x-x_0}=f(\xi).
Bilden wir nun den Grenzwert x→x0x\rightarrow x_0 strebt die rechte Seite wegen der Stetigkeit von ff gegen f(x0)f(x_0) und die linke Seite gegen F ′(x0)F\, '(x_0), also
F ′(x0)=f(x0)F\, '(x_0)=f(x_0).
x0∈Ix_0\in I war beliebig gewählt, also gilt die Behauptung. □\qed
 
 

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Stephen Hawking

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