Intervalle

Intervalle sind Teilmengen von R\dom R, die alle Zahlen umfassen, die zwischen zwei bestimmten Zahlen liegen. Es gibt folgende Typen von Intervallen:
[a,b]:={x∣a≤x≤b}[a,b]:=\{x | a \leq x \leq b \} abgeschlossenes Intervall
]a,b[:={x∣ a<x<b}]a,b[:=\{x| \, a< x <b\} offenes Intervall
[a,b[:={x∣ a≤x<b}[a,b[:=\{x| \, a\leq x <b\}
]a,b]:={x∣ a<x≤b}]a,b]:=\{x| \, a< x \leq b\} 		halboffene Intervalle
[a,∞[:={x∣ a≤x<∞}[a,\infty[:=\{x| \, a\leq x <\infty\} uneigentliches Intervall
Für die (halb)offenen Intervalle ist auch die Schreibweise (a,b)(a,b) an Stelle von ]a,b[]a,b[ üblich.
Es ist [a,b]⊆]c,d[[a,b]\subseteq ]c,d[ genau dann, wenn c<ac< a und d>bd> b.
Intervalle (mit Ausnahme der uneigentlichen) sind immer beschränkt.

Lemma 5223A

Für ein ϵ>0\epsilon>0 gilt ∣x−a∣<ϵ|x-a|<\epsilon genau dann, wenn x∈]a−ϵ,a+ϵ[x\in ]a-\epsilon,a+\epsilon[.

Beweis

Fall 1: x−a≥0x-a\geq 0, dann ist x−a<ϵx-a<\epsilon, also x<a+ϵx<a+\epsilon. Lösungsmenge für diesen Fall ist das Intervall [a,a+ϵ[[a,a+\epsilon[.
Fall 2: x−a<0x-a<0, dann ist −(x−a)<ϵ-(x-a)<\epsilon, also x>a−ϵx>a-\epsilon. Lösungsmenge für diesen Fall ist das Intervall ]a−ϵ,a[]a-\epsilon,a[.
Die Vereinigung beider Lösungsmengen ergibt mit ]a−ϵ,a+ϵ[]a-\epsilon,a+\epsilon[ die Behauptung. □\qed

Definition Epsilon-Umgebung

Für ϵ>0\epsilon>0 heißt das offene Intervall ]a−ϵ,a+ϵ[]a-\epsilon,a+\epsilon[ eine ϵ\epsilon-Umgebung um aa und wird mit Uϵ(a)U_\epsilon(a) bezeichnet.

Abstandsfunktion

Definieren wir für zwei reelle Zahlen a,ba,b mit d⁡(a,b):=∣a−b∣\d(a,b):=|a-b| den Abstand, dann ist dies eine Metrik.
Die oben definierten ϵ\epsilon-Umgebungen entsprechen genau denjenigen des so definierten metrischen Raums.
 
 

An Archimedes wird man sich erinnern, wenn Aischylos vergessen ist - weil zwar die Sprachen sterben, nicht aber die mathematischen Ideen.

Godfrey Harold Hardy

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