Gleichverteilung

Der Begriff Gleichverteilung stammt aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung und beschreibt eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, wobei im diskreten Fall jeder mögliche Zustand mit der gleichen Wahrscheinlichkeit eintritt. Im stetigen Fall betrifft es eine Verteilung mit konstante Dichte. Der Grundgedanke einer Gleichverteilung ist, dass es keine Präferenz gibt.
Beispielsweise gibt es beim Würfeln sechs elementare Zustände, nämlich Augenzahlen, die der Würfel nach dem Wurf zeigen kann: eins, zwei, drei, vier, fünf oder sechs. Die Wahrscheinlichkeit eines jeden dieser Zustände, einzutreten, ist 1/6, denn die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten muss 1 ergeben, und sie alle sollen gleich sein.
Auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,F,P)(\Omega, \mathcal{F}, P) ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A, wenn Ω\Omega gleichverteilt ist, gleich P(A)=UΩ(A)P(A) = \mathcal{U}_{\Omega}(A).
Die Gestalt von UΩ\mathcal{U}_{\Omega}, also die Berechnung der Wahrscheinlichkeit, hängt von Ω\Omega ab.

Endliches Ω\Omega

Hat Ω\Omega nur endlich viele Elemente, so ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses AA mit A⊆Ω A \subseteq \Omega gleich UΩ(A)=(∣A∣∣Ω∣) \mathcal{U}_{\Omega}(A) = \over{| A | }{ |\Omega |} = (Anzahl der Elemente von A) / (Anzahl der möglichen Fälle). Man spricht dann von einer diskreten Gleichverteilung.

Stetiger Fall

Ist Ω⊆Rn\Omega \subseteq \mathbb{R}^n, besitzt also Ω\Omega n reelle Koordinaten, so muss das Volumen von Ωλn(Ω)\Omega \lambda ^n(\Omega) mit 0 < λn(Ω)\lambda ^{n}(\Omega ) < ∞\infty, bestimmt werden. Ist Ω=R\Omega = \mathbb{R}, so gilt für ein Intervall I⊂RI \subset \mathbb{R} von a bis b: λ1\lambda ^{1}(I) = b - a. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A ist gleich P(A)=UΩ(A)=∫A(1λn(Ω)),dx=(λn(A)λn(Ω))P(A) = \mathcal{U}_{\Omega}(A) = {\int\limits_{A} \over{1 }{ \lambda ^n(\Omega)}, \mathrm{d}x} = \over{\lambda ^n(A) }{ \lambda ^n(\Omega)}. Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ist hier eine konstante Funktion ρ\rho mit ρ(x)=1/λn(Ω)\rho(x) = 1/\lambda ^n(\Omega). Man spricht hier von der stetigen Gleichverteilung.

Beispiele

  • Beim Würfeln ist die Wahrscheinlichkeit einer Augenzahl zwischen eins und sechs, gewürfelt zu werden, 1/6.
  • Beim Münzwurf ist die Wahrscheinlichkeit einer der beiden Seiten, oben zu liegen, 1/2.
  • Im Weißen Rauschen sind die Frequenzen gleichverteilt, und zwar stetig.

Laplace

Die Gleichverteilung war Forschungsgebiet für Pierre-Simon Laplace, der vorschlug, dass man, wenn man auf einem Wahrscheinlichkeitsraum das Wahrscheinlichkeitsmaß nicht kenne, erst einmal Gleichverteilung annehmen solle (Indifferenzprinzip). Nach ihm nennt man einen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,P(Ω),UΩ)(\Omega, \mathfrak{P}(\Omega),\mathcal{U}_{\Omega}) für endliches Ω\Omega auch Laplace-Raum.

Siehe auch

Gesetz der kleinen Zahlen
 
 

Es gibt Dinge, die den meisten Menschen unglaublich erscheinen, die nicht Mathematik studiert haben.

Archimedes

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