Strahlensatz

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Zu zeigen \(\displaystyle \dfrac {|\alpha a|} {|a|} =\dfrac{|\beta b|}{|b|}\iff (b-a)||(\beta b-\alpha a)\) also \(\displaystyle \alpha=\beta\iff (b-a)||(\beta b-\alpha a)\)
\(\displaystyle (b-a)||(\beta b-\alpha a)\) \(\displaystyle \iff \langleb-a,(\beta b-\alpha a)\i\rangle=0\) \(\displaystyle \iff\alpha \langlea,a\i\rangle+\beta\langleb,b\i\rangle-\alpha\langleb,a\i\rangle-\beta\langlea,b\i\rangle=0\) \(\displaystyle \iff \alpha\langlea,b\i\rangle-\beta\langlea,b\i\rangle=0\) \(\displaystyle \iff\alpha=\beta\) (weil \(\displaystyle a\) und \(\displaystyle b\) beliebige Vektoren)
Es gilt auch: \(\displaystyle \dfrac{\beta b-\alpha a}{\alpha a} =\dfrac {b-a} a \iff \alpha=\beta\)
 
 

Das ist ein Mittel, das Paradies nicht zu verfehlen: auf der einen Seite einen Mathematiker, auf der anderen einen Jesuiten; mit dieser Begleitung muß man seinen Weg machen, oder man macht ihn niemals.

Friedrich der Große

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