Analytische Geometrie des Raums

Ortsvektor.PNG
Einen Punkt AA der euklidischen Raum R3\dom {R ^3} kann man als Ortsvektor aa auffassen, der durch eine xx-, yy- und eine zz-Koordinate charakterisiert ist. Man schreibt dann A(ax; ay; az)A(a_x;\, a_y;\, a_z) oder A(ax∣ay∣az)A(a_x|a_y|a_z).
Der Vektor wird häufig in Spaltenschreibweise als:
a=(axayaz) a=\pmatrix { a_x\\ a_y\\ a_z}
angegeben.
Der Abstand dd des Punktes AA vom Ursprung entspricht genau der Norm des Vektors aa (Schreibweise: ∣∣a∣∣||a||) und wird mit der üblichen euklidischen Metrik ermittelt, die elementargeometrisch dem Satz des Pythagoras entspricht:
d=∣∣a∣∣=ax2+ay2+az2d=||a||=\sqrt {a_x^2+a_y^2+a_z^2}
Für zwei Punkte A(ax∣ay∣az)A(a_x|a_y|a_z) und B(bx∣by∣bz)B(b_x|b_y|b_z) ergibt sich dem Abstand dd voneinander mit:
d=∣∣a−b∣∣=(ax−bx)2+(ay−by)2+(az−bz)2d=||a-b||=\sqrt{(a_x-b_x)^2+(a_y-b_y)^2+(a_z-b_z)^2 },
was genau der Norm der Differenz entspricht.
 
 

Es ist unglaublich, wie unwissend die studirende Jugend auf Universitäten kommt, wenn ich nur 10 Minuten rechne oder geometrisire, so schläft 1/4 derselben sanft ein.

Georg Christoph Lichtenberg

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